Para a espiral de Arquimedes
, mostre que
quando
radianoe também que
quando a espiral se enrola em torno da origem no sentido anti-horário. Esboce a curva e mostre o ângulo
para a direção
radiano.
Passo 1
O enunciado trata da espiral de Arquimedes
e pede que encontremos
, o ângulo entre o vetor radial (direção de
) e a tangente à curva. Para isso vamos usar a fórmula padrão em coordenadas polares:
Passo 2
Em coordenadas polares a derivada da posição em função de
é
onde o termo
é a componente radial e
é a componente transversal. O ângulo
entre a direção radial e a tangente satisfaz
Passo 3
Para a espiral
temos
logo
Passo 4
Substituindo
radiano:
E quando a espiral se enrola indefinidamente (
):
Passo 5
No esboço da espiral (que parte de
e vai se afastando linearmente de acordo com
), traçamos a reta radial correspondente a
. Em seguida desenhamos a tangente à curva naquele ponto e marcamos o ângulo
entre a reta radial e a diretriz da tangente.
Resposta
Para
:
. Ao enrolar a espiral (
):
.