Para a espiral de Arquimedes r=a theta(theta >= 0), mostre que psi=450 quando theta=1 radianoe também que psi 90^circ quando a espiral se enrola em torno da origem no sentido anti-horário. Esboce a curva e mostre o ângulo psi para a direção theta=1 radiano.

Passo 1

O enunciado trata da espiral de Arquimedes
r = a,theta, theta>=0
e pede que encontremos psi, o ângulo entre o vetor radial (direção de er) e a tangente à curva. Para isso vamos usar a fórmula padrão em coordenadas polares:
tanpsi = rdrdtheta,

Passo 2

Em coordenadas polares a derivada da posição em função de theta é
drdtheta = drdtheta,er + r,etheta,
onde o termo drdtheta,er é a componente radial e r,etheta é a componente transversal. O ângulo psi entre a direção radial e a tangente satisfaz
tanpsi = |componente transversal||componente radial| = rdrdtheta

Passo 3

Para a espiral r = a,theta temos
drdtheta = a,
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tanpsi = a,thetaa = theta Longrightarrow psi = arctantheta

Passo 4

Substituindo theta=1 radiano:
psi(1) = arctan(1) = 45^circ
E quando a espiral se enrola indefinidamente ( thetatoinfty):
psi = arctantheta ;longrightarrow; 90^circ

Passo 5

No esboço da espiral (que parte de r=0 e vai se afastando linearmente de acordo com theta), traçamos a reta radial correspondente a theta=1. Em seguida desenhamos a tangente à curva naquele ponto e marcamos o ângulo psi=45^circ entre a reta radial e a diretriz da tangente.

Resposta

Para theta=1: psi = 45^circ. Ao enrolar a espiral ( thetatoinfty): psi to 90^circ.