Exemplo 4. Achar f^{\prime}-(0) e f^{\prime}{ }_{+}(0) para a função:
f(x)=|x| .
Solução. Por definição temos que:
f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow-0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1, \quad f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow+0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}=1 .

Passo 1

O enunciado pede as derivadas laterais de f(x)=|x| em x=0. Vamos usar a definição de derivada pela diferença quociente e avaliar o limite quando \Delta x tende a zero pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Para a derivada pela esquerda, considere \Delta x<0. Nesse caso |\Delta x|=-\Delta x, então
f_{-}^{\prime}(0) =\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{|\Delta x|-0}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{-\Delta x}{\Delta x} =-1.

Passo 3

Para a derivada pela direita, considere \Delta x>0. Aqui |\Delta x|=\Delta x, então
f_{+}^{\prime}(0) =\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{|\Delta x|-0}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{\Delta x}{\Delta x} =1.

Resposta

f_{-}^{\prime}(0)=-1 f_{+}^{\prime}(0)=1