EXEMPLO 10 O Problema das Três Portas de Monty Hall Suponha que você seja um participante de um programa de auditório. Você tem a chance de ganhar um grande prêmio. Você tem de escolher uma das três portas para abrir; o maior prêmio está atrás de uma dessas portas, e as outras portas não têm nada. Uma vez escolhida a porta, o apresentador do programa, que sabe o que está atrás de cada porta, prossegue. Primeiro, se você escolher ou não a porta vencedora, ele abre uma das outras duas portas que ele sabe que não tem nada (selecionada aleatoriamente se as duas portas não tiverem nada). Então, ele pergunta se você gostaria de trocar de porta. Qual estratégia você deve usar? Você deve mudar de porta ou manter sua escolha original?
Passo 1
O enunciado nos coloca no contexto de probabilidade condicional e estratégia ótima em jogos de azar: você escolhe uma das três portas, o apresentador abre uma porta sem prêmio dentre as duas restantes e oferece a troca. Nosso objetivo é comparar a probabilidade de ganhar o prêmio mantendo a escolha inicial ou trocando de porta.
Passo 2
Definimos os eventos:
• : o prêmio está atrás da porta que você escolheu inicialmente.
• : o prêmio está atrás de uma das outras duas portas.
Inicialmente, como há três portas e apenas uma esconde o prêmio, temos
•
•
Inicialmente, como há três portas e apenas uma esconde o prêmio, temos
Passo 3
O apresentador sempre abre uma porta vazia entre as duas que você não escolheu. Se na sua escolha inicial havia o prêmio
, probabilidade
, ao trocar você perde. Se na sua escolha inicial não havia o prêmio
, probabilidade
, o apresentador revela uma porta vazia e a outra porta restante contém o prêmio — logo, ao trocar você ganha.
Passo 4
As probabilidades de vitória são, portanto:
– Mantendo a escolha:
– Trocando de porta:
– Mantendo a escolha:
– Trocando de porta:
Resposta
Você deve trocar de porta, pois a probabilidade de ganhar sobe para
.