EXEMPLO 14 Quais são os conjuntos na partição dos inteiros que aparecem na congruência módulo 4?
Solução: Existem quatro classes de congruência, que correspondem a [0]_{4},[1]_{4},[2]_{4} \mathrm{e}[3]_{4}. Elas são os conjuntos
\begin{aligned} & {[0]_{4}=\{\ldots,-8,-4,0,4,8, \ldots\},} \\\ & {[1]_{4}=\{\ldots,-7,-3,1,5,9, \ldots\},} \\\ & {[2]_{4}=\{\ldots,-6,-2,2,6,10, \ldots\},} \\\ & {[3]_{4}=\{\ldots,-5,-1,3,7,11, \ldots\} .} \end{aligned}
Essas classes de congruência são disjuntas, e todo inteiro está exatamente em uma delas. Em outras palavras, como o Teorema 2 mostra, essas classes de congruência formam uma partição.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a partição de \mathbb{Z} dada pela relação de equivalência
a \equiv b \pmod{4},
ou seja, agrupar todos os inteiros que deixam o mesmo resto ao dividir por 4. Vamos usar a definição de classe de equivalência e listar cada conjunto correspondente aos restos 0,1,2 e 3.

Passo 2

Por definição, para qualquer inteiro a,
[a]_{4} = \{\,m \in \mathbb{Z} \mid m \equiv a \pmod{4}\}.
Como os restos possíveis na divisão por 4 são exatamente 0,1,2 e 3, teremos quatro classes: [0]_{4}, [1]_{4}, [2]_{4} e [3]_{4}.

Passo 3

A classe [0]_{4} é o conjunto de todos os múltiplos de 4, ou seja,
[0]_{4} = \{\dots,-8,-4,0,4,8,\dots\}.

Passo 4

A classe [1]_{4} reúne os inteiros que deixam resto 1 na divisão por 4:
[1]_{4} = \{\dots,-7,-3,1,5,9,\dots\}.

Passo 5

A classe [2]_{4} reúne os inteiros que deixam resto 2 na divisão por 4:
[2]_{4} = \{\dots,-6,-2,2,6,10,\dots\}.
A classe [3]_{4} reúne os inteiros que deixam resto 3 na divisão por 4:
[3]_{4} = \{\dots,-5,-1,3,7,11,\dots\}.

Passo 6

Essas quatro classes são disjuntas (não têm elemento em comum) e, juntas, cobrem todo \mathbb{Z}. Logo, formam uma partição de \mathbb{Z}.

Resposta

[0]_{4} = \{\dots,-8,-4,0,4,8,\dots\},\quad [1]_{4} = \{\dots,-7,-3,1,5,9,\dots\},
[2]_{4} = \{\dots,-6,-2,2,6,10,\dots\},\quad [3]_{4} = \{\dots,-5,-1,3,7,11,\dots\}.