EXEMPLO 14 Quais são os conjuntos na partição dos inteiros que aparecem na congruência módulo 4?
Solução: Existem quatro classes de congruência, que correspondem a
. Elas são os conjuntos
Essas classes de congruência são disjuntas, e todo inteiro está exatamente em uma delas. Em outras palavras, como o Teorema 2 mostra, essas classes de congruência formam uma partição.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a partição de
dada pela relação de equivalência
ou seja, agrupar todos os inteiros que deixam o mesmo resto ao dividir por
. Vamos usar a definição de classe de equivalência e listar cada conjunto correspondente aos restos
e
.
Passo 2
Por definição, para qualquer inteiro
,
Como os restos possíveis na divisão por
são exatamente
e
, teremos quatro classes:
,
,
e
.
Passo 3
A classe
é o conjunto de todos os múltiplos de
, ou seja,
Passo 4
A classe
reúne os inteiros que deixam resto
na divisão por
:
Passo 5
A classe
reúne os inteiros que deixam resto
na divisão por
:
A classe
reúne os inteiros que deixam resto
na divisão por
:
Passo 6
Essas quatro classes são disjuntas (não têm elemento em comum) e, juntas, cobrem todo
. Logo, formam uma partição de
.