25 Dê um exemplo de uma sequência que tenha limite igual a 3 e cujos primeiros cinco termos sejam 2,4,6,8,10.

Passo 1

O enunciado pede uma sequência (a_n) tal que seus cinco primeiros termos sejam
a_1=2,\quad a_2=4,\quad a_3=6,\quad a_4=8,\quad a_5=10
e ao mesmo tempo \lim_{n\to\infty}a_n=3. Vamos montar uma definição por partes: uma parte que garanta os primeiros cinco valores dados e outra que garanta a convergência a 3.

Passo 2

Definimos
a_n = \begin{cases} 2n, & n=1,2,3,4,5,\\\\ 3 + \dfrac{1}{n}, & n\ge6. \end{cases}

Passo 3

Para n=1,2,3,4,5 temos a_n=2n, ou seja
a_1=2,\;a_2=4,\;a_3=6,\;a_4=8,\;a_5=10,
portanto bate com os cinco primeiros termos exigidos.

Passo 4

Para n\ge6 vale a_n=3+\tfrac1n. Como \tfrac1n\to0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\Bigl(3+\tfrac1n\Bigr) =3+0 =3.

Resposta

Um exemplo de sequência é
a_n = \begin{cases} 2n, & n=1,2,3,4,5,\\\\ 3 + \dfrac{1}{n}, & n\ge6, \end{cases}
que satisfaz a_1=2,\dots,a_5=10 e \lim_{n\to\infty}a_n=3.