EXEMPLO 2.6.8 Uso de Taxas Relacionadas para Estudar a Oferta

Quando o preço unitário de um produto é p reais, o fabricante tem interesse em produzir x mil unidades, em que
x^{2}-2 x \sqrt{p}-p^{2}=31
Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é \mathrm{R} \ 9,00$ e está aumentando à taxa de 20 centavos por semana?
Solução
Sabemos que para p=9, d p / d t=0,20. Queremos saber qual é o valor de d x / d t. Em primeiro lugar, observamos que, para p=9, temos:
\begin{aligned} x^{2}-2 x \sqrt{9}-9^{2} & =31 \\\ x^{2}-6 x-112 & =0 \\\ (x+8)(x-14) & =0 \\\ x & =14 \quad(x=-8 \text { h não tem significado físico }) \end{aligned}ãí
Em seguida, derivamos implicitamente ambos os membros da equação de oferta em relação ao tempo para obter
2 x \frac{d x}{d t}-2\left[\left(\frac{d x}{d t}\right) \sqrt{p}+x\left(\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{p}} \frac{d p}{d t}\right)\right]-2 p \frac{d p}{d t}=0
Finalmente, fazendo x=14, p=9 e d p / d t=0,20 na equação e explicitando d x / d t, obtemos:
\begin{aligned} & 2(14) \frac{d x}{d t}-2\left[\sqrt{9} \frac{d x}{d t}+14\left(\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{9}}\right)(0,20)\right]-2(9)(0,20)=0 \\\ & {[28-2(3)] \frac{d x}{d t}} \end{aligned}=2(14)\left(\frac{1}{2 \sqrt{9}}\right)(0,20)+2(9)(0,20) \quad \begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =\frac{14\left(\frac{1}{3}\right)(0,20)+18(0,20)}{22} \\\ & \approx 0,206 \end{aligned}
Como a oferta é dada em milhares de unidades, chegamos à conclusão de que a oferta está aumentando à taxa de 0,206(1.000)=206 unidades por semana.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre a oferta x (em milhares de unidades) e o preço p (em reais):
x^{2} - 2\,x\,\sqrt{p} - p^{2} = 31
Queremos a taxa \dfrac{dx}{dt} quando p=9 e \dfrac{dp}{dt}=0,20 (reais por semana). O conteúdo usado é diferenciação implícita e taxas relacionadas.

Passo 2

Para usar a condição p=9, determinamos o valor de x sabendo que
x^{2} - 2\,x\,\sqrt{9} - 9^{2} = 31.
Como \sqrt{9}=3, isso vira
x^{2} - 6x - 81 = 31 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 6x - 112 = 0.
Resolvendo,
(x+8)(x-14)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=14
(ignoramos x=-8 por não ter significado físico).

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação ao tempo t a equação original:
x^{2} - 2\,x\,\sqrt{p} - p^{2} = 31.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}(x^{2}) - 2\,\frac{d}{dt}\bigl(x\,p^{1/2}\bigr) - \frac{d}{dt}(p^{2}) = 0.
Isso dá
2x\,\frac{dx}{dt} -2\Bigl(\sqrt{p}\,\frac{dx}{dt} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{p}}\,\frac{dp}{dt}\Bigr) -2p\,\frac{dp}{dt} =0.

Passo 4

Substituímos x=14, p=9 e \dfrac{dp}{dt}=0,20:
2\cdot14\,\frac{dx}{dt} -2\Bigl(3\,\frac{dx}{dt} + 14\cdot\frac{1}{2\cdot3}\,(0,20)\Bigr) -2\cdot9\,(0,20) =0.
Dentro do colchete, \sqrt{9}=3 e \tfrac{1}{2\sqrt{9}}=\tfrac{1}{6}, então
28\,\frac{dx}{dt} -2\Bigl(3\,\frac{dx}{dt} + \tfrac{14}{6}\cdot0,20\Bigr) -3,6 =0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(28-6\bigr)\frac{dx}{dt} = \underbrace{2\cdot\frac{14}{6}\cdot0,20}_{\approx0,9333}+3,6.
Logo,
22\,\frac{dx}{dt} \approx 0,9333 + 3,6 = 4,5333 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} \approx \frac{4,5333}{22} \approx 0,2061.

Passo 5

Esse resultado está em milhares de unidades por semana, então a oferta cresce a
0,2061\\ (\text{mil}) \approx 206\quad\text{unidades por semana}.

Resposta

A oferta está aumentando a aproximadamente 206 unidades por semana.