EXEMPLO 2.6.8 Uso de Taxas Relacionadas para Estudar a Oferta
Quando o preço unitário de um produto é p reais, o fabricante tem interesse em produzir x mil unidades, em que
x^{2}-2 x \sqrt{p}-p^{2}=31
Qual é a taxa de variação da oferta quando o preço unitário é \mathrm{R} \ 9,00$ e está aumentando à taxa de 20 centavos por semana?
Solução
Sabemos que para p=9, d p / d t=0,20. Queremos saber qual é o valor de d x / d t. Em primeiro lugar, observamos que, para p=9, temos:
\begin{aligned} x^{2}-2 x \sqrt{9}-9^{2} & =31 \\\ x^{2}-6 x-112 & =0 \\\ (x+8)(x-14) & =0 \\\ x & =14 \quad(x=-8 \text { h não tem significado físico }) \end{aligned}
Em seguida, derivamos implicitamente ambos os membros da equação de oferta em relação ao tempo para obter
2 x \frac{d x}{d t}-2\left[\left(\frac{d x}{d t}\right) \sqrt{p}+x\left(\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{p}} \frac{d p}{d t}\right)\right]-2 p \frac{d p}{d t}=0
Finalmente, fazendo x=14, p=9 e d p / d t=0,20 na equação e explicitando d x / d t, obtemos: