Para os Exercícios 1-4, determine quantos valores distintos podem ser obtidos ao inserir-se um par de parênteses na expressão dada.
2 3-7-9-5

Passo 1

O enunciado dá a expressão
2 \times 3 \;-\; 7 \;-\; 9 \;-\; 5
e pede para inserir exatamente um par de parênteses em qualquer posição, obedecendo a ordem dos termos, e contar quantos valores distintos aparecem. O conteúdo usado é a precedência normal de operações (multiplicação antes de subtração) e como uma nova associação por parênteses altera o resultado.

Passo 2

A expressão tem 5 termos e 4 operações entre eles, logo podemos escolher quaisquer dois índices i<j em \{1,2,3,4,5\} para abrir parênteses antes do termo i e fechar depois do termo j. Isso dá
\binom{5}{2} = 10
posições possíveis para o par de parênteses.

Passo 3

Classificamos essas 10 posições pelo índice de início do parêntese:
  • Início em 1: (2\times3), (2\times3-7), (2\times3-7-9), (2\times3-7-9-5)
  • Início em 2: (3-7), (3-7-9), (3-7-9-5)
  • Início em 3: (7-9), (7-9-5)
  • Início em 4: (9-5)

Passo 4

Para início em 1 o parêntese não muda nada porque a multiplicação já vinha antes das subtrações. Em todos esses casos o resultado é o original
2\times3 -7 -9 -5 = 6 -7 -9 -5 = -15.

Passo 5

Para início em 2 calculamos primeiro cada subexpressão e depois o restante:
2\times(3-7) -9 -5 = 2\times(-4) -9 -5 = -8 -9 -5 = -22,
2\times(3-7-9) -5 = 2\times(-13) -5 = -26 -5 = -31,
2\times(3-7-9-5) = 2\times(-18) = -36.

Passo 6

Para início em 3 temos
2\times3 \;-\; (7-9) \;-\;5 = 6 -(-2) -5 = 6+2-5 = 3,
2\times3 \;-\; (7-9-5) = 6 -(-7) = 13.

Passo 7

Para início em 4:
2\times3 -7 - (9-5) = 6 -7 -4 = -5.

Passo 8

Reunindo todos os resultados distintos:
-15,\;-22,\;-31,\;-36,\;3,\;13,\;-5.
São ao todo 7 valores diferentes.

Resposta

7