Nos exercícios 7-10, faça o gráfico da função. Determine seu domínio, sua imagem e as coordenadas das intersecções com os eixos x e y.
y=-2^{x}+3

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função
y = -2^x + 3
e que a gente determine: domínio, imagem e coordenadas das intersecções com os eixos x e y.
Conteúdo: propriedades de funções exponenciais, reflexão vertical e translação.

Passo 2

Para o domínio, basta lembrar que a função exponencial 2^x está definida para todo x\in\mathbb{R}. A operação de negação e soma de 3 não cria restrição adicional.
Logo,
\text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Analisando os limites nos extremos de x:
  • Quando x\to -\infty, temos 2^x\to 0^+, então
\lim_{x\to -\infty}y = -0 + 3 = 3.
  • Quando x\to +\infty, 2^x\to +\infty, logo
\lim_{x\to +\infty}y = -\,\bigl(+\infty\bigr) + 3 = -\infty.
Portanto existe uma assíntota horizontal em y=3 e a imagem é
\text{Imagem} = (-\infty,\,3).

Passo 4

Intersecção com o eixo y ocorre em x=0. Substituindo:
y(0) = -2^0 + 3 = -1 + 3 = 2.
Coord.: \,(0,2).

Passo 5

Intersecção com o eixo x faz y=0. Então
-2^x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2^x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \log_2 3.
Coord.: \bigl(\log_2 3,\,0\bigr).

Passo 6

Para o gráfico, use que é a curva de 2^x refletida no eixo x (ficando decrescente) e elevada em 3 unidades. Ela:
\bullet Aproxima-se de y=3 quando x\to -\infty.
\bullet Passa por (0,2) e por (\log_2 3,0).
\bullet Cai para -\infty quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,3)
Interseção com o eixo y: (0,2)
Interseção com o eixo x: \bigl(\log_{2}3,\,0\bigr)
Assíntota horizontal: y=3