Nos exercícios 1 a 8, a região S é limitada por uma ou mais curvas definidas pelas equações dadas. Em cada caso desenhar a região S e determinar as coordenadas
barx e bary do centroide.
y=x^2, x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede o centroide de uma região plana S limitada pela parábola y=x^2 e pela reta x+y=2.
Conteúdo: uso das fórmulas
A=integrala^bl(f2(x)-f1(x)r),dx, bar x=1Aintegrala^bxl(f2(x)-f1(x)r),dx, bar y=12Aintegrala^bl(f2(x)^2-f1(x)^2r),dx

Passo 2

Determinamos as interseções resolvendo
x^2=2-x;Longrightarrow;x^2+x-2=0;Longrightarrow;x=-2,;x=1
Em x=-2 e x=1 as curvas se cruzam em (-2,4) e (1,1).
Para -2<= x<=1, a reta y=2-x fica acima da parábola y=x^2. Logo
S=(x,y)mid -2<= x<=1,;x^2<= y<=2-x

Passo 3

Calculamos a área
A=integral-2^1l((2-x)-x^2r),dx =integral-2^1(-x^2 -x +2),dx =[-x^33-x^22+2x]-2^1 =92

Passo 4

Calculamos bar x:
bar x=1Aintegral-2^1xl((2-x)-x^2r),dx =1tfrac92integral-2^1(2x -x^2 -x^3),dx =-12

Passo 5

Calculamos bar y:
bar y=12Aintegral-2^1l((2-x)^2-(x^2)^2r),dx =12cdot92integral-2^1(4-4x+x^2 -x^4),dx =85

Resposta

bar x=-12, bar y=85.