Em uma experiência genética, 50 moscas de fruta são colocadas num frasco de vidro que comporta uma população máxima de 1.000 moscas. Se 30 dias mais tarde a população cresceu para 200 moscas, quando a população de moscas alcançará a metade da capacidade do frasco?

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento populacional com capacidade máxima do frasco K=1000. Inicialmente há N(0)=50 moscas e, após 30 dias, N(30)=200. Queremos saber em que tempo T a população atinge a metade da capacidade, isto é, N(T)=tfracK2=500. Vamos modelar esse crescimento por uma equação logística e determinar os parâmetros necessários.

Passo 2

O modelo logístico geral é
N(t)=K1 + A,e^-r,t,
onde A e r são constantes a achar. Pelo valor inicial N(0)=50 temos
50 = 10001 + A e^0 Longrightarrow 1 + A = 100050=20 Longrightarrow A=19

Passo 3

Usando o dado N(30)=200, substituímos na fórmula com K=1000 e A=19:
200 = 10001 + 19,e^-rcdot 30 Longrightarrow 1 + 19,e^-30r = 1000200=5 Longrightarrow 19,e^-30r=4 Longrightarrow e^-30r=419
Tomando logaritmo,
-30r = ln!l(tfrac419r) Longrightarrow r = -130,ln!l(tfrac419r) = ln(19/4)30

Passo 4

Agora impomos N(T)=500. Da fórmula
500 = 10001 + 19,e^-rT Longrightarrow 1 + 19,e^-rT = 2 Longrightarrow 19,e^-rT=1 Longrightarrow e^-rT=119 Longrightarrow -rT = ln!l(tfrac119r) = -ln(19)
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T = ln(19)r

Passo 5

Substituindo r = tfracln(19/4)30 em T:
T = ln(19) ln(19/4)30 = 30,ln(19)ln(19/4)
Numericamente, usando ln(19)approx2,9444 e ln(19/4)approx1,5581:
T approx 30;2,94441,5581approx30cdot1,8908approx56,7 dias

Resposta

A população alcança 500 moscas aproximadamente aos 56,7 dias desde o início da experiência.