Explique como Cayley usou árvores para enumerar o número de certos tipos de hidrocarbonetos.

Passo 1

O problema de Cayley consistia em contar quantos isômeros (hidrocarbonetos químicos distintos) existem de um dado tipo de composto acíclico saturado, por exemplo os alcanos \– hidrocarbonetos C_nH_{2n+2}. O conteúdo aqui é teoria de grafos e geração de funções: vamos representar cada esqueleto de carbono como uma árvore e depois usar métodos de contagem de árvores para obter o número de estruturas químicas possíveis.

Passo 2

Modelagem por árvores
Cada átomo de carbono vira um vértice e cada ligação C–C vira uma aresta. Como a molécula é acíclica e conectada, o grafo é exatamente uma árvore. Os átomos de hidrogênio não entram no grafo, pois eles “preenchem” apenas as valências livres do carbono, e não afetam a forma de ramificação.

Passo 3

Restrição de valência
Químicamente cada carbono tem valência 4, ou seja, cada vértice da árvore pode ter grau até 4. Na prática, quando “enraizamos” a árvore num carbono especial, esse nó-raiz tem até 4 “ramificações” e cada descendente pode ter até 3 ramificações (uma veio de cima e até três abaixo).

Passo 4

Função geradora para árvores enraizadas
Cayley considerou primeiro árvores enraizadas (com um carbono marcado como raiz) em que cada vértice descende em até 3 subárvores. Se chamarmos de R(x) a função geradora exponencial em que o coeficiente de x^n é o número de árvores enraizadas com n carbonos, obtemos o equilíbrio combinatório
R(x) \;=\; x\;\bigl(1 + R(x)\bigr)^3.
Aqui o fator x conta a própria raiz, e (1+R(x))^3 distribui até três subárvores por ela (cada subárvore pode ser vazia, que corresponde a um ramo que termina num carbono saturado apenas por hidrogênio).

Passo 5

Passagem de árvores enraizadas a não enraizadas
Para voltar às árvores não enraizadas (isto é, esquemas de alcanos sem marcar um átomo como “raiz”), Cayley usou uma fórmula que relaciona os coeficientes de R(x) com o número T_n de árvores não enraizadas de n vértices. Em essência, cada árvore não enraizada de n vértices gera n árvores enraizadas por escolha da raiz, salvo fatores de simetria que são tratados por correções finitas. O resultado é que
T_n \;=\;\frac{1}{n}\,[x^n]\,R(x)\;+\;\text{(pequenos ajustes para automorfismos)},
e Cayley calculou explicitamente os primeiros termos dessa sequência para obter o número de isômeros de C_nH_{2n+2} para n de 1 até, digamos, 10 ou 12.

Passo 6

Conclusão e valores obtidos
Usando esse método de geração e extração de coeficientes (via inversão de Lagrange, ainda que não com esse nome, e contagem de simetrias), Cayley produziu a lista clássica de quantidade de alcanos:
1,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;9,\;18,\;35,\;75,\dots
para n=1,2,3,\dots. Esses números coincidem com o número de hidrocarbonetos distintos de fórmula C_nH_{2n+2}.

Resposta

Cayley mapeou esqueletos de alcanos em árvores com grau máximo 4, construiu a função geradora
R(x)=x\bigl(1+R(x)\bigr)^3
para árvores enraizadas, usou inversão de Lagrange para obter os coeficientes e depois dividiu por n (com correções de simetria) para contar as árvores não enraizadas, que correspondem exatamente aos isômeros de C_nH_{2n+2}.