37 Explique por que a curva paramétrica descrita por
\\left(t^{3}, 5 t^{3}\\\right)\\, para \(t no intervalo [-2,2], é um segmento de reta.)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica (x,y)=(t^3,5\,t^3) para t\in[-2,2]. O conteúdo da matéria é curvas paramétricas e a ideia é eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana e, em seguida, analisar o intervalo de variação.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, observamos que
x = t^3 \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt[3]{x}.
Substituindo em y obtemos
y = 5\,t^3 = 5\,x.

Passo 3

A equação y=5x representa uma reta de coeficiente angular 5 passando pela origem.

Passo 4

Como t varia em [-2,2], temos x=t^3\in[-8,8]. Logo a imagem da curva é
\{(x,5x)\mid x\in[-8,8]\},
ou seja, o segmento de reta que vai de (-8,-40) a (8,40).

Resposta

A curva paramétrica é exatamente o segmento de reta sobre a reta y=5x para x\in[-8,8], unindo (-8,-40) a (8,40).