55 Explique por que a fatoração polinomial
é válida para todo inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, vale a identidade
O conteúdo aqui é fatoração de polinômio usando a propriedade distributiva e reconhecimento de soma de progressão geométrica que “telescopa”.
Passo 2
Começamos aplicando a distributiva ao produto do lado direito:
Passo 3
Reescrevendo o segundo somatório, observe que
onde na última igualdade trocamos
. Assim
Passo 4
Na diferença acima, todos os termos intermediários
cancelam, sobrando
Isso mostra precisamente que
ou seja,