55 Explique por que a fatoração polinomial
1-x^{n}=(1-x)\left(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}\right)
é válida para todo inteiro n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge2, vale a identidade
1 - x^n \;=\;(1 - x)\,\bigl(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}\bigr).
O conteúdo aqui é fatoração de polinômio usando a propriedade distributiva e reconhecimento de soma de progressão geométrica que “telescopa”.

Passo 2

Começamos aplicando a distributiva ao produto do lado direito:
(1 - x)\sum_{k=0}^{n-1} x^k \;=\; \sum_{k=0}^{n-1} x^k \;-\; x\sum_{k=0}^{n-1} x^k.

Passo 3

Reescrevendo o segundo somatório, observe que
x\sum_{k=0}^{n-1} x^k =\sum_{k=0}^{n-1} x^{k+1} =\sum_{j=1}^{n} x^{j},
onde na última igualdade trocamos j=k+1. Assim
\sum_{k=0}^{n-1} x^k -\sum_{k=0}^{n-1} x^{k+1} = \bigl(x^0 + x^1 + \cdots + x^{n-1}\bigr) -\bigl(x^1 + x^2 + \cdots + x^n\bigr).

Passo 4

Na diferença acima, todos os termos intermediários x^1,\dots,x^{n-1} cancelam, sobrando
x^0 - x^n = 1 - x^n.
Isso mostra precisamente que
(1 - x)\sum_{k=0}^{n-1} x^k = 1 - x^n,
ou seja,
1 - x^n = (1 - x)\bigl(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}\bigr).

Resposta

1 - x^n = (1 - x)\bigl(1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}\bigr).