42 Explique por que não existe um triângulo de área 15 tendo um lado de comprimento 4 e um lado de comprimento 7 .

Passo 1

O enunciado quer saber por que não existe um triângulo com dois lados de comprimentos 4 e 7 cuja área seja 15. O conteúdo que vamos usar é a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles.

Passo 2

Sejam a=4 e b=7 os comprimentos dos dois lados, e \theta o ângulo interno entre eles. A área A do triângulo é dada por
A = \frac12\,a\,b\,\sin(\theta).

Passo 3

Substituindo a=4 e b=7 na fórmula, obtemos
A = \frac12 \times 4 \times 7 \times \sin(\theta) = 14\,\sin(\theta).
Para que A=15, precisaríamos de
\sin(\theta) = \frac{15}{14}.

Passo 4

Mas sabemos que para qualquer ângulo real vale \sin(\theta)\le1. Entretanto
\frac{15}{14}>1,
logo não há nenhum \theta real que satisfaça \sin(\theta)=15/14. Isso mostra que não existe configuração de triângulo com esses lados que alcance área 15.

Resposta

Não existe porque a fórmula de área dá A=14\sin(\theta), cujo valor máximo é 14, e portanto não pode chegar a 15.