Explique como as regras da soma e do produto podem ser usadas para encontrar o número de cadeias de bits com comprimento não excedente a 10 .

Passo 1

O enunciado pede o número de cadeias de bits com comprimento não excedente a 10, ou seja, podemos ter cadeias de comprimento 0,1,2,\dots,10. Para resolver, vamos usar duas regras básicas de contagem:
  1. A regra do produto, para contar o número de cadeias de comprimento fixo n.
  2. A regra da soma, para somar as possibilidades em diferentes comprimentos.

Passo 2

Primeiro, fixamos um comprimento n. Cada posição da cadeia pode ser 0 ou 1, totalizando 2 opções por posição. Pela regra do produto, o número de cadeias de comprimento exatamente n é
2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n.

Passo 3

Como queremos todas as cadeias com comprimento de 0 até 10, e esses casos são mutuamente exclusivos, aplicamos a regra da soma:
\sum_{n=0}^{10} 2^n.

Passo 4

Para somar essa série geométrica, usamos a fórmula
\sum_{n=0}^{10} 2^n = \frac{2^{11} - 1}{2 - 1} = 2^{11} - 1 = 2047.

Resposta

O número de cadeias de bits com comprimento não excedente a 10 é 2047.