52 Explique por que (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} se e somente se a=0 ou b=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a igualdade
(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2}
ocorre exatamente nos casos em que a=0 ou b=0. O conteúdo é manipulação de identidades algébricas e a propriedade do produto nulo em \mathbb{R}.

Passo 2

Expandindo o quadrado do binômio e comparando com o lado direito, temos
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
A igualdade com a^{2}+b^{2} implica
a^{2} + 2ab + b^{2} = a^{2} + b^{2}.
Subtraindo a^{2}+b^{2} de ambos os lados obtemos
2ab = 0.

Passo 3

Como estamos em \mathbb{R}, o número 2 é diferente de zero, logo podemos dividir a equação por 2 para chegar a
ab = 0.
Pela propriedade do produto nulo em \mathbb{R}, isso só acontece se e somente se um dos fatores for zero:
a = 0 ou
b = 0.

Passo 4

Para a recíproca, basta verificar que se a=0 então
(a+b)^{2} = (0+b)^{2} = b^{2} = 0^{2} + b^{2},
e se b=0 análogamente
(a+0)^{2} = a^{2} = a^{2} + 0^{2}.
Logo, sempre que a=0 ou b=0 a igualdade original vale.

Resposta

A igualdade (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} ocorre se e somente se a=0 ou b=0.