52 Explique por que
se e somente se
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a igualdade
ocorre exatamente nos casos em que
ou
. O conteúdo é manipulação de identidades algébricas e a propriedade do produto nulo em
.
Passo 2
Expandindo o quadrado do binômio e comparando com o lado direito, temos
A igualdade com
implica
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Passo 3
Como estamos em
, o número
é diferente de zero, logo podemos dividir a equação por
para chegar a
Pela propriedade do produto nulo em
, isso só acontece se e somente se um dos fatores for zero:
—
ou
— .
—
Passo 4
Para a recíproca, basta verificar que se
então
e se
análogamente
Logo, sempre que
ou
a igualdade original vale.
Resposta
A igualdade
ocorre se e somente se
ou
.