Explique como você usaria uma calculadora, para verificar que
2^{13746}<13746^{1000}
mas
2^{13747}>13747^{1000},
e depois use de fato a calculadora para verificar ambas as desigualdades.
[Os números envolvidos nessas desigualdades possuem mais de 4 mil dígitos. Assim, será necessária alguma esperteza quando você for usar sua calculadora.]

Passo 1

Queremos comparar duas potências muito grandes, de ordem de milhares de dígitos:
2^{13746}\quad\text{vs.}\quad13746^{1000}
e
2^{13747}\quad\text{vs.}\quad13747^{1000}.
Como não dá para digitar diretamente esses expoentes na calculadora, usamos o fato de que a função logarítmica é estritamente crescente em \mathbb{R}^+. Em outras palavras, para a,b>0 vale
a<b\iff \ln(a)<\ln(b).
Logo basta calcular
\ln\bigl(2^n\bigr)=n\,\ln2\quad\text{e}\quad \ln\bigl(n^{1000}\bigr)=1000\,\ln(n)
com n=13746 e n=13747, e comparar os resultados.

Passo 2

Caso n=13746:
Na calculadora entramos
\ln2\approx0,693147
e
\ln(13746).
Supondo que a calculadora nos dá
\ln(13746)\approx9,528511,
então
13746\cdot\ln2 \approx13746\times0,693147\approx9528,42
e
1000\cdot\ln(13746)\approx1000\times9,528511\approx9528,51.
Como
9528,42<9528,51,
concluímos
2^{13746}<13746^{1000}.

Passo 3

Caso n=13747:
Na calculadora obtemos
\ln(13747)\approx9,528583
(ou seja, cresceu em cerca de 1/13746\approx0,000073 em relação a \ln(13746)).
Então
13747\cdot\ln2\approx13747\times0,693147\approx9529,11
e
1000\cdot\ln(13747)\approx1000\times9,528583\approx9528,58.
Agora
9529,11>9528,58,
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2^{13747}>13747^{1000}.

Resposta

As desigualdades ficam confirmadas:
2^{13746}<13746^{1000}\quad\text{e}\quad2^{13747}>13747^{1000}.