5.10.5 As expressões assintóticas para as várias funções de Bessel, Seção 11.6, contêm as séries
& Pnu(z) sim 1+sumn=1^infty(-1)^n prods=1^2 n[4 nu^2-(2 s-1)^2](2 n)!(8 z)^2 n & Qnu(z) sim sumn=1^infty(-1)^n+1 prods=1^2 n-1[4 nu^2-(2 s-1)^2](2 n-1)!(8 z)^2 n-1
Mostre que essas duas séries são, de fato, séries assintóticas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as séries
Pnu(z)sim 1+sumn=1^infty(-1)^nprods=1^2nl[4nu^2-(2s-1)^2r](2n)!,(8z)^2n
e
Qnu(z)sim sumn=1^infty(-1)^n+1prods=1^2n-1l[4nu^2-(2s-1)^2r](2n-1)!,(8z)^2n-1
são realmente expansões assintóticas de e quando . Para isso vamos usar a representação integral dos Bessel modifies e o Lema de Watson (Laplace) para estimar o resto após truncar a série.

Passo 2

Começamos pela função Inu(z)=1raizpi,Gammal(nu+tfrac12r)l(tfrac z2r)^!nu integral0^pie^,zcostheta,sin^2nutheta;dtheta , que no livro aparece escrita como
e^,zintegral0^inftye^-zt,t^nu-tfrac12,h(t);dt,
Para Pnu(z)=e^-zraiz2pi z;Inu(z), aplicamos o método de Laplace próximo a , expandindo
e .
Fazendo a mudança de variável , a integral se transforma em
onde é uma função analítica em , com expansão em potências
. Dali surge a definição de
cuja série formal em potências de é exatamente a dada para .

Passo 3

Para ver que essa série é assintótica usamos o Lema de Watson: se
integral0^inftye^-zt,t^mu-1,h(t);dt, h(t)=sumn=0^inftycnt^n,
então para todo Ol(z^-mu-Nr) (ztoinfty) a integral menos a soma dos RN(z) =Pnu(z)-l[1+sumn=1^N(-1)^ntfracprods=1^2n[,4nu^2-(2s-1)^2,](2n)!,(8z)^2nr] primeiros termos é
No nosso caso e cada coeficiente gera um termo
proporcional a . Isso mostra que, após truncar em , o resto
satisfaz , justamente a ordem do próximo termo, e logo
é uma expansão assintótica.

Passo 4

O caso de Knu(z)=raizpiGammal(nu+tfrac12r) l(tfrac z2r)^!nuintegral1^inftye^-zt,(t^2-1)^nu-tfrac12;dt é idêntico se tomarmos a representação integral de ,
definida por
Fazendo e expansões em junto com Watson, obtemos
e sua série
em . De novo, ao truncar em termos, o resto é ,
que coincide com a ordem do próximo termo, provando que
é série assintótica.

Resposta

Mostramos que, ao usar as representações integrais de e e aplicar o lema de Watson, o resto após truncar as séries dadas para e tem ordem exatamente igual à do termo imediatamente seguinte. Assim ambas são de fato séries assintóticas.