5.10.5 As expressões assintóticas para as várias funções de Bessel, Seção 11.6, contêm as séries
\begin{aligned} & P_{\nu}(z) \sim 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\prod_{s=1}^{2 n}\left[4 \nu^{2}-(2 s-1)^{2}\right]}{(2 n)!(8 z)^{2 n}} \\\ & Q_{\nu}(z) \sim \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\prod_{s=1}^{2 n-1}\left[4 \nu^{2}-(2 s-1)^{2}\right]}{(2 n-1)!(8 z)^{2 n-1}} \end{aligned}
Mostre que essas duas séries são, de fato, séries assintóticas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as séries
P_{\nu}(z)\sim 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\prod_{s=1}^{2n}\bigl[4\nu^{2}-(2s-1)^{2}\bigr]}{(2n)!\,(8z)^{2n}}
e
Q_{\nu}(z)\sim \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\prod_{s=1}^{2n-1}\bigl[4\nu^{2}-(2s-1)^{2}\bigr]}{(2n-1)!\,(8z)^{2n-1}}
são realmente expansões assintóticas de P_{\nu}(z) e Q_{\nu}(z) quando z\to\infty. Para isso vamos usar a representação integral dos Bessel modifies e o Lema de Watson (Laplace) para estimar o resto após truncar a série.

Passo 2

Começamos pela função I_{\nu}(z), que no livro aparece escrita como
I_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\,\Gamma\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)}\Bigl(\tfrac z2\Bigr)^{\!\nu} \int_{0}^{\pi}e^{\,z\cos\theta}\,\sin^{2\nu}\theta\;d\theta.
Para z\to\infty aplicamos o método de Laplace próximo a \theta=0, expandindo
\cos\theta=1-\tfrac12\theta^{2}+\cdots e \sin^{2\nu}\theta=\theta^{2\nu}(1+\cdots).
Fazendo a mudança de variável t=\tfrac12\theta^{2}, a integral se transforma em
e^{\,z}\int_{0}^{\infty}e^{-zt}\,t^{\nu-\tfrac12}\,h(t)\;dt,
onde h(t) é uma função analítica em t=0, com expansão em potências
\displaystyle h(t)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,t^{n}. Dali surge a definição de
P_{\nu}(z)=e^{-z}\sqrt{2\pi z}\;I_{\nu}(z),
cuja série formal em potências de (8z)^{-1} é exatamente a dada para P_{\nu}(z).

Passo 3

Para ver que essa série é assintótica usamos o Lema de Watson: se
\int_{0}^{\infty}e^{-zt}\,t^{\mu-1}\,h(t)\;dt,\quad h(t)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n},
então para todo N a integral menos a soma dos N primeiros termos é
O\bigl(z^{-\mu-N}\bigr) \quad(z\to\infty).
No nosso caso \mu=\nu+\tfrac12 e cada coeficiente gera um termo
proporcional a z^{-\mu-n}. Isso mostra que, após truncar em n=N, o resto
R_{N}(z) =P_{\nu}(z)-\Bigl[1+\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n}\tfrac{\prod_{s=1}^{2n}[\,4\nu^{2}-(2s-1)^{2}\,]}{(2n)!\,(8z)^{2n}}\Bigr]
satisfaz R_{N}(z)=O(z^{-2N-2}), justamente a ordem do próximo termo, e logo
\!P_{\nu}(z)\sim\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(8z)^{-2n} é uma expansão assintótica.

Passo 4

O caso de Q_{\nu}(z) é idêntico se tomarmos a representação integral de K_{\nu}(z),
definida por
K_{\nu}(z)=\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma\bigl(\nu+\tfrac12\bigr)} \Bigl(\tfrac z2\Bigr)^{\!\nu}\int_{1}^{\infty}e^{-zt}\,(t^{2}-1)^{\nu-\tfrac12}\;dt.
Fazendo t=1+u e expansões em u junto com Watson, obtemos
\displaystyle Q_{\nu}(z)=e^{z}\sqrt{\tfrac{2z}{\pi}}\;K_{\nu}(z) e sua série
em (8z)^{-1}. De novo, ao truncar em N termos, o resto é O(z^{-2N-1}),
que coincide com a ordem do próximo termo, provando que
\!Q_{\nu}(z)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}(8z)^{-2n+1} é série assintótica.

Resposta

Mostramos que, ao usar as representações integrais de I_{\nu} e K_{\nu} e aplicar o lema de Watson, o resto após truncar as séries dadas para P_{\nu}(z) e Q_{\nu}(z) tem ordem exatamente igual à do termo imediatamente seguinte. Assim ambas são de fato séries assintóticas.

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