5.10.5 As expressões assintóticas para as várias funções de Bessel, Seção 11.6, contêm as séries
Mostre que essas duas séries são, de fato, séries assintóticas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as séries
e
são realmente expansões assintóticas de
e
quando
. Para isso vamos usar a representação integral dos Bessel modifies e o Lema de Watson (Laplace) para estimar o resto após truncar a série.
Passo 2
Começamos pela função
, que no livro aparece escrita como
Para
aplicamos o método de Laplace próximo a
, expandindo
e
.
Fazendo a mudança de variável , a integral se transforma em
Fazendo a mudança de variável
onde
é uma função analítica em
, com expansão em potências
. Dali surge a definição de
cuja série formal em potências de
é exatamente a dada para
.
Passo 3
Para ver que essa série é assintótica usamos o Lema de Watson: se
então para todo
a integral menos a soma dos
primeiros termos é
No nosso caso
e cada coeficiente gera um termo
proporcional a . Isso mostra que, após truncar em
, o resto
proporcional a
satisfaz
, justamente a ordem do próximo termo, e logo
é uma expansão assintótica.
Passo 4
O caso de
é idêntico se tomarmos a representação integral de
,
definida por
definida por
Fazendo
e expansões em
junto com Watson, obtemos
e sua série
em . De novo, ao truncar em
termos, o resto é
,
que coincide com a ordem do próximo termo, provando que
é série assintótica.
em
que coincide com a ordem do próximo termo, provando que
Resposta
Mostramos que, ao usar as representações integrais de
e
e aplicar o lema de Watson, o resto após truncar as séries dadas para
e
tem ordem exatamente igual à do termo imediatamente seguinte. Assim ambas são de fato séries assintóticas.