Ext 6.1: Esboce e calcule a área da região limitada por:
(a) y=x^2, y=1 / x, y=-2, x=-1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas ,y=x^2, ,y=tfrac1x, ,y=-2 e pelas retas verticais ,x=-1 e ,x=2.
O conteúdo aqui é o cálculo de área por integração, usando “fatias” verticais: em cada x fixo, a altura da fatia é a diferença entre as curvas superior e inferior. Como as fronteiras mudam em um ponto de interseção, vamos particionar o intervalo em dois subintervalos.

Passo 2

Determinar o ponto em que ,y=tfrac1x cruza ,y=-2.
1x = -2 Longrightarrow x = -tfrac12

Passo 3

Para x de -1 até -tfrac12, a curva superior é ,y=x^2 e a inferior é ,y=tfrac1x.
A área parcial é
A1 = integralx=-1^x=-tfrac12l(x^2 - tfrac1xr),dx

Passo 4

Calcular A1:
integral !l(x^2 - tfrac1xr),dx = x^33 - lnlvert xrvert
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A1 = l[x^33 - lnlvert xrvertr]-1^-tfrac12 = l(-tfrac124 + ln2r) - l(-tfrac13r) = ln2 + 724

Passo 5

Para x de -tfrac12 até 2, a curva superior continua sendo ,y=x^2 e a inferior passa a ser a reta ,y=-2.
A área parcial é
A2 = integralx=-tfrac12^x=2l(x^2 - (-2)r),dx = integral-1/2^2l(x^2 +2r),dx

Passo 6

Calcular A2:
integral (x^2 +2),dx = x^33 + 2x,
então
A2 = l[x^33+2xr]-1/2^2 = l(83+4r) - l(-tfrac124-1r) = 18524

Passo 7

Somando as duas parcelas:
A = A1 + A2 = l(ln2 + tfrac724r) + 18524 = ln2 + 19224 = ln2 + 8

Resposta

A área da região é 8 + ln2.