Faça um esboço da curva da função exponencial ou logarítmica dada sem usar os métodos do cálculo.
f(x)=5^{x}

Passo 1

O enunciado pede um esboço da curva de f(x)=5^{x} sem recorrer a derivadas ou integrais, apenas usando as propriedades básicas de funções exponenciais. Para isso, vamos usar conhecimento sobre domínio e imagem, interceptos, assíntotas e alguns pontos estratégicos, além de observar o comportamento para x\to+\infty e x\to-\infty.

Passo 2

Determinar domínio e imagem.
O domínio de toda função exponencial a^{x} com a>0 é o conjunto dos números reais, isto é,
\text{Dom}(f)=\mathbb{R},
e sua imagem são todos os números reais positivos, pois 5^{x}>0 para todo x:
\text{Im}(f)=(0,\infty).

Passo 3

Encontrar intercepto com o eixo y.
Para x=0 vale
f(0)=5^{0}=1,
logo a curva passa por (0,1). Não há intercepto com o eixo x porque 5^{x} nunca é zero.

Passo 4

Identificar assíntota horizontal.
Quando x\to-\infty, 5^{x}\to0. Assim, a reta
y=0
é assíntota horizontal à curva pelo lado esquerdo.

Passo 5

Marcar pontos adicionais para guiar o esboço.
Para ter uma ideia do crescimento, calculemos mais dois pontos simples:
f(1)=5^{1}=5,\quad f(-1)=5^{-1}=\tfrac15=0{,}2.
Portanto, temos os pontos (1,5) e (-1,0{,}2).

Passo 6

Descrever o comportamento qualitativo da curva.
Como a base 5>1, a função é estritamente crescente. Para x\to+\infty ela cresce rapidamente, e para x\to-\infty aproxima-se de zero seguindo a assíntota y=0.

Passo 7

Esboçar a curva usando as informações coletadas.
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a assíntota horizontal y=0 (linha tracejada).
  3. Marque e ligue suavemente os pontos (-1,0{,}2), (0,1) e (1,5).
  4. Prolongue a curva para a direita subindo cada vez mais e para a esquerda aproximando-a de y=0.

Resposta

O esboço de f(x)=5^{x} é uma curva crescente que passa por (-1,0{,}2), (0,1) e (1,5), com assíntota horizontal em y=0, tendendo a +\infty quando x\to+\infty e aproximando-se de zero quando x\to-\infty.