Faça um esboço da curva da função exponencial ou logarítmica dada sem usar os métodos do cálculo.
Passo 1
O enunciado pede um esboço da curva de
sem recorrer a derivadas ou integrais, apenas usando as propriedades básicas de funções exponenciais. Para isso, vamos usar conhecimento sobre domínio e imagem, interceptos, assíntotas e alguns pontos estratégicos, além de observar o comportamento para
e
.
Passo 2
Determinar domínio e imagem.
O domínio de toda função exponencial com
é o conjunto dos números reais, isto é,
O domínio de toda função exponencial
e sua imagem são todos os números reais positivos, pois
para todo
:
Passo 3
Encontrar intercepto com o eixo
.
Para vale
Para
logo a curva passa por
. Não há intercepto com o eixo
porque
nunca é zero.
Passo 4
Identificar assíntota horizontal.
Quando ,
. Assim, a reta
Quando
é assíntota horizontal à curva pelo lado esquerdo.
Passo 5
Marcar pontos adicionais para guiar o esboço.
Para ter uma ideia do crescimento, calculemos mais dois pontos simples:
Para ter uma ideia do crescimento, calculemos mais dois pontos simples:
Portanto, temos os pontos
e
.
Passo 6
Descrever o comportamento qualitativo da curva.
Como a base , a função é estritamente crescente. Para
ela cresce rapidamente, e para
aproxima-se de zero seguindo a assíntota
.
Como a base
Passo 7
Esboçar a curva usando as informações coletadas.
- Desenhe os eixos
e . - Trace a assíntota horizontal
(linha tracejada). - Marque e ligue suavemente os pontos
, e . - Prolongue a curva para a direita subindo cada vez mais e para a esquerda aproximando-a de
.
Resposta
O esboço de
é uma curva crescente que passa por
,
e
, com assíntota horizontal em
, tendendo a
quando
e aproximando-se de zero quando
.