Faça a soma, subtração, multiplicação e divisão para 26-7 i e 3+4 i, bem como para seus complexos conjugados.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos
z_1 = 26 - 7i, \quad z_2 = 3 + 4i,
e pede para calcular soma, subtração, multiplicação e divisão entre z_1 e z_2, bem como entre seus conjugados \overline{z_1}=26+7i e \overline{z_2}=3-4i. Vamos aplicar as operações algébricas em partes real e imaginária e usar i^2=-1.

Passo 2

Cálculo da soma e da subtração de z_1 e z_2:
z_1 + z_2 = (26 + 3) + (-7 + 4)\,i = 29 - 3i,
z_1 - z_2 = (26 - 3) + (-7 - 4)\,i = 23 - 11i.

Passo 3

Cálculo da multiplicação de z_1 e z_2, usando i^2=-1:
z_1 z_2 = (26 - 7i)(3 + 4i) = 26\cdot3 + 26\cdot4i -7i\cdot3 -7i\cdot4i = 78 + 104i -21i -28(i^2) = 78 + 83i -28(-1) = 106 + 83i.

Passo 4

Cálculo da divisão \dfrac{z_1}{z_2}, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de z_2:
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(26 - 7i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{50 - 125i}{9 + 16} = \frac{50 - 125i}{25} = 2 - 5i.

Passo 5

Agora fazemos as mesmas operações com \overline{z_1}=26+7i e \overline{z_2}=3-4i. Pelas propriedades de conjugação ( \overline{a\pm b}=\overline a\pm\overline b, \overline{ab}=\overline a\,\overline b, \overline{a/b}=\overline a/\overline b), basta tomar o conjugado dos resultados acima:
\overline{z_1} + \overline{z_2} = 29 + 3i,
\overline{z_1} - \overline{z_2} = 23 + 11i,
\overline{z_1}\,\overline{z_2} = 106 - 83i,
\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = 2 + 5i.

Resposta

z_1 + z_2 = 29 - 3i
z_1 - z_2 = 23 - 11i
z_1 z_2 = 106 + 83i
\dfrac{z_1}{z_2} = 2 - 5i
\overline{z_1} + \overline{z_2} = 29 + 3i
\overline{z_1} - \overline{z_2} = 23 + 11i
\overline{z_1}\,\overline{z_2} = 106 - 83i
\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = 2 + 5i