Sem fazer qualquer trabalho, explique por que a série de cosenos de f(x)=\cos ^{2} x, 0<x<\pi, é a série finita f(x)= \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier pelo modo cosseno de
\,f(x)=\cos^2x em 0<x<\pi. Pelo teorema de Fourier, como \cos^2x estende-se de forma par ao intervalo simétrico [-\pi,\pi], sua série só terá termos em \cos(nx).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo que relaciona \cos^2x e \cos2x:
\cos(2x)=2\cos^2(x)-1.

Passo 3

Isolando \cos^2(x) nessa fórmula, obtemos
\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.

Passo 4

A expressão acima já está na forma de combinação linear de \cos(0x)=1 e \cos(2x). Não aparecem outros termos \cos(nx) com n\neq0,2. Logo a série de Fourier é finita, com coeficientes
\,a_0=\tfrac12, \,a_2=\tfrac12 e todos os demais nulos.

Resposta

f(x)=\frac12+\frac12\cos(2x).