(FGV-SP) Seja i a unidade imaginária. Se n é um inteiro positivo tal que i^(1+2+3+4+5+ldots+n)= = 1, então é correto afirmar que o produto n(n+1) é, necessariamente, um:
a) múltiplo positivo de 12 .
d) divisor de 2^2 n+1.
b) múltiplo positivo de 8 .
e) quadrado perfeito.
c) divisor de 2^n.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar quais propriedades o produto n(n+1) deve ter, sabendo que
i^1+2+3+cdots+n=1
Aqui o conteúdo é a unidade imaginária i e a sua propriedade de ciclo de período 4 nas potências.

Passo 2

Calculemos a soma do expoente
S = 1+2+3+cdots+n = n(n+1)2

Passo 3

Como i^k=1 exatamente quando k é múltiplo de 4, precisamos de
S equiv 0 pmod4 Longrightarrow n(n+1)2 equiv 0 pmod4
Multiplicando ambos os lados por 2, segue
n(n+1)equiv 0 pmod8,
ou seja, n(n+1) é múltiplo de 8.

Resposta

b) múltiplo positivo de 8.