(FGV-SP) Sendo i a unidade imaginária, então (1+i)^20-(1-i)^20 é igual a
a) -1024
b) -1024 i
c) 0
d) 1024
e) 1024 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(1+i)^20 - (1-i)^20
onde i é a unidade imaginária.
O conteúdo necessário é a representação de números complexos em forma polar e a aplicação da Fórmula de De Moivre, que diz que para um número complexo re^itheta vale
(re^itheta)^n = r^n e^i ntheta

Passo 2

Escrevemos 1+i em forma polar. O módulo é
r = |1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2,
e o argumento é
theta = arg(1+i) = pi4
Logo
1+i = raiz2,e^ipi/4
Analogamente,
1 - i = raiz2,e^-,ipi/4

Passo 3

Aplicando De Moivre em cada potência:
(1+i)^20 = l(raiz2r)^20 e^i,20cdot(pi/4) = 2^10 e^i,5pi = 1024,e^i5pi,
(1-i)^20 = l(raiz2r)^20 e^-,i,20cdot(pi/4) = 1024,e^-,i5pi

Passo 4

Sabendo que
e^i5pi = cos(5pi) + isin(5pi) = -1 + icdot 0 = -1
e
e^-,i5pi = cos(5pi) - isin(5pi) = -1 - icdot 0 = -1,
segue
(1+i)^20 = 1024 cdot (-1) = -1024, (1-i)^20 = 1024 cdot (-1) = -1024

Passo 5

Fazendo a subtração:
(1+i)^20 - (1-i)^20 = (-1024) - (-1024) = 0

Resposta

0