Uma função descontínua pode ter uma série de Fourier? Pode ter uma série de Taylor? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se uma função descontínua pode ser expandida em série de Fourier e se ela pode ser expandida em série de Taylor. Trata-se de comparar as condições de existência e convergência de cada tipo de série: as condições de Dirichlet para Fourier e o conceito de analiticidade (diferenciabilidade infinita e convergência do polinômio de Taylor) para Taylor.

Passo 2

Uma função f admite série de Fourier se for periódica e satisfizer as condições de Dirichlet em cada período, isto é, se em cada intervalo de comprimento igual ao período:
f for de variação limitada (ou seja, tiver um número finito de máximos, mínimos e descontinuidades);
f for contínua a pedaços (piecewise continuous).
Nessas hipóteses, a série de Fourier converge em todo ponto de continuidade de f para f(x), e em cada ponto de descontinuidade converge para o valor médio
\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}.
Logo, mesmo funções descontínuas podem ter uma série de Fourier válida (por exemplo, a onda quadrada).

Passo 3

Por outro lado, para que uma função f tenha série de Taylor centrada em x_0, é necessário que f seja infinitamente diferenciável num entorno de x_0 e que o polinômio de Taylor
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
converja para f(x) naquele entorno. Essa propriedade caracteriza funções analíticas, que em particular são contínuas e suaves (sem descontinuidades) no intervalo de convergência.

Passo 4

Uma função descontínua falha já no requisito mínimo de continuidade em x_0, pois não há como definir derivadas de todas as ordens nem garantir convergência do polinômio de Taylor ao valor da função. Mesmo que em pontos distintos da descontinuidade ela fosse suave, na descontinuidade não se atende à definibilidade das derivadas e à igualdade entre a soma da série e o valor real de f.

Resposta

Uma função descontínua pode ter série de Fourier (basta satisfazer as condições de Dirichlet), mas não pode ter série de Taylor na(s) descontinuidade(s), pois Taylor exige analiticidade (continuidade e diferenciabilidade infinita) no entorno do ponto de expansão.