Funções Homogêneas Uma função
é chamada homogênea de n-ésimo grau se satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
(a)
[Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar
com relação a
.]
(b) $x^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=n(n-1) f(x, y)
Mostre que, se
(a)
[Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar
(b) $x^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=n(n-1) f(x, y)
Passo 1
Estamos vendo funções homogêneas de grau
, ou seja, funções
que satisfazem
para todo
. O objetivo é usar a Regra da Cadeia para derivar essa relação em
e depois avaliar em
. Com isso, vamos obter em (a) a fórmula de Euler
e em (b) uma identidade envolvendo as segundas derivadas parciais.
Passo 2
Derivemos em relação a
a igualdade
. Pela Regra da Cadeia, a derivada do lado esquerdo é
e a do lado direito é
Logo, para todo
, vale
Agora basta avaliar em
. Isso dá exatamente
que é a parte (a).
Passo 3
Para obter (b), derivamos mais uma vez em
a relação
No lado esquerdo, aplicando novamente a Regra da Cadeia a cada termo, obtemos
Somando,
Finalmente, avaliando em
, chega-se a
que é o enunciado de (b).
Resposta
(a)
(b)
(b)