Funções Homogêneas Uma função f é chamada homogênea de n-ésimo grau se satisfaz a equação
f(t x, t y)=t^{n} f(x, y)
para todo t, onde n é um inteiro positivo e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Mostre que, se f é homogênea de grau n, então
(a) x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f(x, y)
[Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f(t x, t y) com relação a t.]
(b) $x^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=n(n-1) f(x, y)

Passo 1

Estamos vendo funções homogêneas de grau n, ou seja, funções f que satisfazem
f(t x, t y)=t^{n}f(x,y)
para todo t. O objetivo é usar a Regra da Cadeia para derivar essa relação em t e depois avaliar em t=1. Com isso, vamos obter em (a) a fórmula de Euler
x\,\frac{\partial f}{\partial x}+y\,\frac{\partial f}{\partial y}=n\,f(x,y)
e em (b) uma identidade envolvendo as segundas derivadas parciais.

Passo 2

Derivemos em relação a t a igualdade f(t x,t y)=t^{n}f(x,y). Pela Regra da Cadeia, a derivada do lado esquerdo é
\frac{d}{dt}f(t x,t y) = x\,\frac{\partial f}{\partial x}(t x,t y) + y\,\frac{\partial f}{\partial y}(t x,t y),
e a do lado direito é
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}f(x,y)\bigr) = n\,t^{n-1}f(x,y).
Logo, para todo t, vale
x\,\frac{\partial f}{\partial x}(t x,t y) + y\,\frac{\partial f}{\partial y}(t x,t y) = n\,t^{n-1}f(x,y).
Agora basta avaliar em t=1. Isso dá exatamente
x\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = n\,f(x,y),
que é a parte (a).

Passo 3

Para obter (b), derivamos mais uma vez em t a relação
x\,\frac{\partial f}{\partial x}(t x,t y) + y\,\frac{\partial f}{\partial y}(t x,t y) = n\,t^{n-1}f(x,y).
No lado esquerdo, aplicando novamente a Regra da Cadeia a cada termo, obtemos
\frac{d}{dt}\Bigl[x\,f_{x}(t x,t y)\Bigr] = x\bigl(x\,f_{xx}(t x,t y)+y\,f_{xy}(t x,t y)\bigr),
\frac{d}{dt}\Bigl[y\,f_{y}(t x,t y)\Bigr] = y\bigl(x\,f_{xy}(t x,t y)+y\,f_{yy}(t x,t y)\bigr).
Somando,
x^{2}f_{xx}(t x,t y) +2\,x y\,f_{xy}(t x,t y) +y^{2}f_{yy}(t x,t y) = n(n-1)\,t^{n-2}f(x,y).
Finalmente, avaliando em t=1, chega-se a
x^{2}f_{xx}(x,y) +2\,x y\,f_{xy}(x,y) +y^{2}f_{yy}(x,y) = n(n-1)\,f(x,y),
que é o enunciado de (b).

Resposta

(a) x\,\dfrac{\partial f}{\partial x}+y\,\dfrac{\partial f}{\partial y}=n\,f(x,y)
(b) x^{2}\,\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+2\,x y\,\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+y^{2}\,\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=n(n-1)\,f(x,y)