Como as funções
e
são definidas? Há alguma restrição em
? Como o gráfico de
está relacionado com o de
? O que há de verdade na afirmação de que realmente só há uma função exponencial e uma função logaritmica?
Passo 1
A questão pede (1) definição de
e de
, (2) restrições sobre a base
, (3) relação entre o gráfico de
e o de
, e (4) comentar a ideia de que “só há uma” função exponencial e logarithmica. Vamos usar como pedra angular a construção de
em termos de
e
.
Passo 2
Definimos a função exponencial de base arbitrária
(com
,
) a partir da exponencial natural
. Especificamente:
Isso garante que
seja contínua e diferenciável em todo
. A restrição
vem de
só estar definida para
, e excluímos
pois
é trivialmente constante.
Passo 3
A função logaritmo de base
é por definição o inverso de
. Como inversa de
, temos
Logo o domínio é
, e novamente exigimos
,
. Do ponto de vista de gráficos,
é apenas o gráfico de
“esticado” verticalmente por fator
. Se
,
e o gráfico mantém a mesma orientação; se
,
e há reflexão em relação ao eixo
.
Passo 4
Tudo se resume a que a única verdadeira exponencial “fundamental” é
e o único logaritmo “fundamental” é
. As demais bases
e
surgem apenas por mudanças de escala (horizontal ou vertical) e, portanto, de fato há essencialmente uma só forma-suporte de função exponencial e de função logarítmica, variando-se apenas o fator
.
Resposta
Definições e restrições:
Gráfico de
: é o de
multiplicado por
, invertendo-se se
.
Unicidade: há apenas uma exponencial “verdadeira” e uma logarítmica
; as demais são versões “esticadas” ou “espelhadas” delas.
Unicidade: há apenas uma exponencial “verdadeira”