Como as funções a^{x} e \log _{a} x são definidas? Há alguma restrição em a ? Como o gráfico de \log _{a} x está relacionado com o de \ln x ? O que há de verdade na afirmação de que realmente só há uma função exponencial e uma função logaritmica?

Passo 1

A questão pede (1) definição de \,a^x e de \log_a x, (2) restrições sobre a base a, (3) relação entre o gráfico de \log_a x e o de \ln x, e (4) comentar a ideia de que “só há uma” função exponencial e logarithmica. Vamos usar como pedra angular a construção de a^x em termos de e^x e \ln x.

Passo 2

Definimos a função exponencial de base arbitrária a (com a>0, a\neq1) a partir da exponencial natural \exp(x)=e^x. Especificamente:
a^x \;=\; e^{\,x\ln a}\,.
Isso garante que a^x seja contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}. A restrição a>0 vem de \ln a só estar definida para a>0, e excluímos a=1 pois 1^x é trivialmente constante.

Passo 3

A função logaritmo de base a é por definição o inverso de a^x. Como inversa de x\mapsto e^{x\ln a}, temos
\log_a x \;=\; \frac{\ln x}{\ln a}, \quad x>0.
Logo o domínio é x>0, e novamente exigimos a>0, a\neq1. Do ponto de vista de gráficos,
y=\log_a x \quad\Longleftrightarrow\quad y=(\ln x)/(\ln a)
é apenas o gráfico de y=\ln x “esticado” verticalmente por fator 1/\ln a. Se a>1, \ln a>0 e o gráfico mantém a mesma orientação; se 0<a<1, \ln a<0 e há reflexão em relação ao eixo x.

Passo 4

Tudo se resume a que a única verdadeira exponencial “fundamental” é e^x e o único logaritmo “fundamental” é \ln x. As demais bases a^x e \log_a x surgem apenas por mudanças de escala (horizontal ou vertical) e, portanto, de fato há essencialmente uma só forma-suporte de função exponencial e de função logarítmica, variando-se apenas o fator \ln a.

Resposta

Definições e restrições:
a^x = e^{x\ln a},\quad a>0,\;a\neq1,\;x\in\mathbb{R},
\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a},\quad a>0,\;a\neq1,\;x>0.
Gráfico de \log_a x: é o de \ln x multiplicado por 1/\ln a, invertendo-se se 0<a<1.
Unicidade: há apenas uma exponencial “verdadeira” e^x e uma logarítmica \ln x; as demais são versões “esticadas” ou “espelhadas” delas.