(Fuvest-00) Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, chamadas
. Ein cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 pastas nesse arquivo. Qual ć a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Temos quatro gavetas
, cada uma com capacidade máxima de 5 pastas, e colocamos ao acaso 18 pastas idênticas nessas gavetas. Queremos
sendo
o número de pastas em
. Como todas as distribuições que respeitam as capacidades são equiprováveis, vamos contar:
– o total de soluções inteiras não negativas de
– o total de soluções inteiras não negativas de
e depois
– o número de soluções com (e
, também com cada um até 5).
Para isso, usamos o método de estrelas e barras com inclusão–exclusão.
– o número de soluções com
Para isso, usamos o método de estrelas e barras com inclusão–exclusão.
Passo 2
Contamos primeiro o total
de distribuições com
e
. Sem restrição de teto, o número de soluções não negativas é
Agora aplicamos inclusão–exclusão para excluir as soluções em que alguma gaveta tem
:
– Há soluções com uma gaveta violando o teto (quatro escolhas possíveis).
– Há soluções com duas gavetas violando (seis pares).
– Há com três gavetas violando (quatro trios).
– Quatro gavetas violando exigiria soma , impossível.
Pela inclusão–exclusão:
– Há
– Há
– Há
– Quatro gavetas violando exigiria soma
Pela inclusão–exclusão:
Passo 3
Agora contamos o número
de distribuições com
. Basta então distribuir 14 pastas nas gavetas
com
. Sem teto, teríamos
Pela mesma inclusão–exclusão para
variáveis:
– Uma violação ( ) dá
soluções (três escolhas).
– Duas violações dão soluções (três pares).
– Três violações é impossível (soma ).
Logo
– Uma violação (
– Duas violações dão
– Três violações é impossível (soma
Logo
Passo 4
A probabilidade pedida é