(Fuvest-00) Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, chamadas a, b, c, d. Ein cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 pastas nesse arquivo. Qual ć a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta a ?
a) 3 / 10
b) 1 / 10
c) 3 / 20
d) 1 / 20
e) 1 / 30

Passo 1

Temos quatro gavetas a,b,c,d, cada uma com capacidade máxima de 5 pastas, e colocamos ao acaso 18 pastas idênticas nessas gavetas. Queremos
P(n_a=4),
sendo n_a o número de pastas em a. Como todas as distribuições que respeitam as capacidades são equiprováveis, vamos contar:
– o total de soluções inteiras não negativas de
n_a+n_b+n_c+n_d=18,\quad 0\le n_i\le5,
e depois
– o número de soluções com n_a=4 (e n_b+n_c+n_d=14, também com cada um até 5).
Para isso, usamos o método de estrelas e barras com inclusão–exclusão.

Passo 2

Contamos primeiro o total D de distribuições com n_1+n_2+n_3+n_4=18 e 0\le n_i\le5. Sem restrição de teto, o número de soluções não negativas é
\binom{18+4-1}{4-1}=\binom{21}{3}=1330.
Agora aplicamos inclusão–exclusão para excluir as soluções em que alguma gaveta tem n_i\ge6:
– Há \binom{21-6}{3}=\binom{15}{3}=455 soluções com uma gaveta violando o teto (quatro escolhas possíveis).
– Há \binom{21-2\cdot6}{3}=\binom{9}{3}=84 soluções com duas gavetas violando (seis pares).
– Há \binom{21-3\cdot6}{3}=\binom{3}{3}=1 com três gavetas violando (quatro trios).
– Quatro gavetas violando exigiria soma \ge24, impossível.
Pela inclusão–exclusão:
D=1330-4\cdot455+6\cdot84-4\cdot1 =1330-1820+504-4=10.

Passo 3

Agora contamos o número N de distribuições com n_a=4. Basta então distribuir 14 pastas nas gavetas b,c,d com 0\le n_i\le5. Sem teto, teríamos
\binom{14+3-1}{3-1}=\binom{16}{2}=120.
Pela mesma inclusão–exclusão para 3 variáveis:
– Uma violação ( \ge6) dá \binom{10}{2}=45 soluções (três escolhas).
– Duas violações dão \binom{4}{2}=6 soluções (três pares).
– Três violações é impossível (soma \ge18).
Logo
N=120-3\cdot45+3\cdot6=120-135+18=3.

Passo 4

A probabilidade pedida é
P(n_a=4)=\frac{N}{D}=\frac{3}{10}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{3}{10} (alternativa a) )