(IME-06) Determine os valores de x, y, z er que satisfazem o sistema
\begin{gathered} C_{r+y}^{r}=\log _{y} x \\\ \log _{y} z=4+\log _{y} z \\\ C_{r+y}^{y}=\log _{y} z+\log _{y} z \end{gathered}
onde C_{m}^{p} representa a combinação de m elementos tomados p ap e log. B representa o logaritmo de B na base c.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema, em que C_{m}^{p}\) é combinação de \(m\) elementos tomados \(p\) a cada vez e \(\log_{y}\) é o logaritmo na base \(y\): \[\begin{cases} C_{r+y}^{r} = \log_{y} x,\\[6pt] \log_{y} z = 4 + \log_{y} z,\\[6pt] C_{r+y}^{y} = \log_{y} z + \log_{y} z. \end{cases}
Queremos testar a consistência dessas equações em busca de (x,y,z].]

Passo 2

Analisando a segunda equação
\log_{y} z = 4 + \log_{y} z,
subtraímos \log_{y} z dos dois lados e obtemos
0 = 4,
o que é uma contradição absoluta.

Passo 3

Como a própria segunda equação se reduz a uma impossibilidade lógica ( 0=4), não existe tripla (x,y,z) que a satisfaça junto com as demais. Logo, o sistema não admite solução.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução.