(IME-85) Seja a sequência \left\{v_{n}\right\}, n=0, 1,2, \ldots, definida a partir de seus dois primeiros iermos v_{0} c v_{1} e p e l a fórmula geral: v_{n}=6 v_{n-1}-9 v_{n-2}, para n \geq 2. Define-se uma nova sequência: \left\{u_{n}\right\}, n= 0,1,2, \ldots pela fómula: v_{n}=3^{\prime \prime} u_{n}
a) Calcule u_{n}-u_{n-1} em função de u_{1} \subset u_{1}
b) Calcule u_{n} e v_{n} em função de n, v_{1} e v_{0}
c) Identifique a natureza das sequências \left\{v_{n}\right\} e \left\{u_{n}\right\} quando: v_{1}=1 e v_{0}=1 / 3

Passo 1

O enunciado define uma sequência \{v_n\} por
v_n \;=\;6\,v_{n-1}\;-\;9\,v_{n-2},\quad n\ge2,
com v_0 e v_1 dados, e introduz a sequência \{u_n\} pela relação
v_n = 3^n\,u_n.
O conteúdo é transformação de recorrência linear de 2º ordem e resolução de progressão aritmética. Vamos precisar dividir a recorrência de v_n por 3^n e depois resolver a nova recorrência para u_n.

Passo 2

Dividindo
v_n = 6\,v_{n-1}-9\,v_{n-2}
por 3^n, usamos u_k = v_k/3^k para obter
u_n = \frac{v_n}{3^n} = \frac{6\,v_{n-1}}{3^n} \;-\;\frac{9\,v_{n-2}}{3^n} = 2\,\frac{v_{n-1}}{3^{\,n-1}} \;-\;\frac{v_{n-2}}{3^{\,n-2}} =2\,u_{n-1}-u_{n-2}.
Essa é uma recorrência de 2º ordem cuja equação característica é
r^2 -2r +1 =0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)^2=0,
logo a solução geral de \{u_n\} é da forma u_n = A + B\,n.

Passo 3

Da forma u_n = A + B\,n temos
u_0 = A,\quad u_1 = A + B,
portanto
B = u_1 - u_0.
Isso implica que, para todo n\ge1,
u_n - u_{n-1} = (A + B\,n) - (A + B\,(n-1)) = B = u_1 - u_0.
Essa é a resposta do item (a).

Passo 4

Para o item (b), já sabemos que
u_n = u_0 + (u_1 - u_0)\,n.
Como u_0 = v_0 e u_1 = v_1/3, substituímos e em seguida voltamos a v_n =3^n\,u_n:
v_n = 3^n\Bigl[v_0 + n\bigl(\tfrac{v_1}{3}-v_0\bigr)\Bigr] =3^n\,v_0 \;+\;n\,(v_1-3\,v_0)\,3^{\,n-1}.

Passo 5

No item (c) assumimos v_0=\tfrac13 e v_1=1. Então
u_0 = v_0 = \tfrac13,\quad u_1 = \frac{v_1}{3} = \tfrac13,
logo u_1-u_0=0. Assim
u_n = u_0 +0\cdot n = \tfrac13
é constante (uma P.A. de diferença zero) e
v_n =3^n\,u_n =3^n\cdot\tfrac13 = 3^{\,n-1}
é uma P.G. de razão 3.

Resposta

a) \;u_n - u_{n-1} = u_1 - u_0.
b) \;u_n = u_0 + (u_1 - u_0)\,n,\quad v_n = 3^n\,v_0 + n\,(v_1-3v_0)\,3^{\,n-1}.
c) Para v_0=\tfrac13,\;v_1=1:
\{u_n\} é constante ( \tfrac13), P.A. de razão 0;
\{v_n\} é P.G. de razão 3, pois v_n=3^{n-1}.