(IME-85) Seja a sequência
,
, definida a partir de seus dois primeiros iermos
fórmula geral:
, para
. Define-se uma nova sequência:
pela fómula:
a) Calcule
em função de
b) Calcule
e
em função de
,
e
c) Identifique a natureza das sequências
e
quando:
e
a) Calcule
b) Calcule
c) Identifique a natureza das sequências
Passo 1
O enunciado define uma sequência
por
com
e
dados, e introduz a sequência
pela relação
O conteúdo é transformação de recorrência linear de 2º ordem e resolução de progressão aritmética. Vamos precisar dividir a recorrência de
por
e depois resolver a nova recorrência para
.
Passo 2
Dividindo
por
, usamos
para obter
Essa é uma recorrência de 2º ordem cuja equação característica é
logo a solução geral de
é da forma
.
Passo 3
Da forma
temos
portanto
Isso implica que, para todo
,
Essa é a resposta do item (a).
Passo 4
Para o item (b), já sabemos que
Como
e
, substituímos e em seguida voltamos a
:
Passo 5
No item (c) assumimos
e
. Então
logo
. Assim
é constante (uma P.A. de diferença zero) e
é uma P.G. de razão
.
Resposta
a)
b)
c) Para :
é constante (
), P.A. de razão
;
é P.G. de razão
, pois
.
b)
c) Para