Indique o(s) teorema(s) apropriado(s) dessa seção que justifique(m) a igualdade dada. Não expanda os determinantes em cofatores.
|ll1 & 2 3 & 4|=-|ll3 & 4 1 & 2|

Passo 1

O enunciado nos dá dois determinantes de ordem 2:
D1 = l|1 & 23 & 4r| e D2 = l|3 & 41 & 2r|
e pede que justifiquemos
D1 = -,D2
sem recorrer à expansão por cofatores, mas sim usando os teoremas sobre propriedades elementares de determinantes.

Passo 2

Note que a matriz de D2 é obtida a partir da matriz de D1 trocando-se a primeira linha com a segunda linha:
1 & 23 & 4 ;xrightarrowtroca linhas 1rightarrow 2; 3 & 41 & 2

Passo 3

Aplicamos o Teorema de permutação de linhas, que afirma:
“Se em um determinante permutarmos duas linhas quaisquer, o valor do determinante muda de sinal.”
Dessa forma, ao trocar a linha 1 com a linha 2 em D1, obtemos D2 e
D2 = -,D1 Longrightarrow D1 = -,D2

Resposta

O teorema apropriado é o Teorema de permutação de linhas (troca de duas linhas altera o sinal do determinante).