Há “infinitas” estações em uma rota de trem. Suponha que o trem pare na primeira estação e que, se ele pára em uma estação, pára também na próxima. Mostre que o trem pára em todas as estações.
Passo 1
O enunciado considera uma sequência infinita de estações enumeradas por
. Sabe-se que
- o trem pára na estação
, - se o trem pára na estação
, então ele pára também na estação .
Vamos usar o princípio da indução matemática para mostrar que o trem pára em todas as estações.
Passo 2
(Base da indução)
Verificamos que o trem pára na estação por hipótese. Logo a propriedade “o trem pára na estação
” é verdadeira para
.
Verificamos que o trem pára na estação
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que para algum , com
, o trem pára na estação
. Este é o passo de assumir a veracidade da propriedade para um índice arbitrário
.
Suponha que para algum
Passo 4
(Passo indutivo)
Pela hipótese do enunciado, se o trem pára na estação , então ele pára também na estação
. Como assumimos que ele pára em
, concluímos que ele pára em
. Assim mostramos que “se é verdade para
, então é verdade para
”.
Pela hipótese do enunciado, se o trem pára na estação
Passo 5
(Conclusão por indução)
Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade é verdadeira em e a verdade em
implica a verdade em
, ela vale para todo
. Portanto o trem pára em todas as estações.
Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade é verdadeira em
Resposta
O trem pára em todas as estações.