Há “infinitas” estações em uma rota de trem. Suponha que o trem pare na primeira estação e que, se ele pára em uma estação, pára também na próxima. Mostre que o trem pára em todas as estações.

Passo 1

O enunciado considera uma sequência infinita de estações enumeradas por 1,2,3,\dots. Sabe-se que
  1. o trem pára na estação 1,
  2. se o trem pára na estação n, então ele pára também na estação n+1.
    Vamos usar o princípio da indução matemática para mostrar que o trem pára em todas as estações.

Passo 2

(Base da indução)
Verificamos que o trem pára na estação 1 por hipótese. Logo a propriedade “o trem pára na estação n” é verdadeira para n=1.

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que para algum k\in\mathbb{N}, com k\ge1, o trem pára na estação k. Este é o passo de assumir a veracidade da propriedade para um índice arbitrário k.

Passo 4

(Passo indutivo)
Pela hipótese do enunciado, se o trem pára na estação k, então ele pára também na estação k+1. Como assumimos que ele pára em k, concluímos que ele pára em k+1. Assim mostramos que “se é verdade para n=k, então é verdade para n=k+1”.

Passo 5

(Conclusão por indução)
Pelo princípio da indução matemática, como a propriedade é verdadeira em n=1 e a verdade em n=k implica a verdade em n=k+1, ela vale para todo n\in\mathbb{N}. Portanto o trem pára em todas as estações.

Resposta

O trem pára em todas as estações.