(Insper-04) Um individuo é dito magnético se e somente se para qualquer conjunto de dez pessoas que o conhecem, existe no conjunto pelo menos uma pessoa que simpatiza com ele. Se exatamente 100 pessoas conhecem um individuo, para que ele seja magnético
a) é suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo, pelo menos 10 simpatizem com ele.
b) é necessário e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo, pelo menos 51 simpatizem com ele.
c) é suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo. pelo menos 90 simpatizem com cle.
d) é necessário e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo, pelo menos 91 simpatizem com ele.
e) é necessário que as 100 pessoas que conhecem o individuo simpatizem com ele.
a) é suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo, pelo menos 10 simpatizem com ele.
b) é necessário e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo, pelo menos 51 simpatizem com ele.
c) é suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo. pelo menos 90 simpatizem com cle.
d) é necessário e suficiente que dentre as 100 pessoas que conhecem o individuo, pelo menos 91 simpatizem com ele.
e) é necessário que as 100 pessoas que conhecem o individuo simpatizem com ele.
Passo 1
Resumindo, temos um indivíduo conhecido por exatamente
pessoas. Dizemos que ele é magnético se, para qualquer grupo de
dentre essas
pessoas, existe ao menos uma que simpatiza com ele. O objetivo é achar uma condição sobre o número de simpatizantes entre as
que seja equivalente a essa definição.
Passo 2
Vamos modelar: seja
o conjunto das
pessoas que conhecem o indivíduo, e seja
o conjunto de quem simpatiza com ele. A condição “para qualquer conjunto de
pessoas que o conhecem, existe ao menos uma que simpatiza” significa exatamente que nenhum subconjunto de tamanho
de
está inteiramente dentro de
(os que não simpatizam).
Passo 3
Se existisse um subconjunto de
não-simpatizantes, esse grupo violaria a condição: ele seria um grupo de
sem nenhum simpatizante. Logo, o tamanho de
(número de não-simpatizantes) deve ser menor que
. Assim,
Passo 4
Como
, temos
Isto é, é necessário e suficiente que haja pelo menos
simpatizantes entre as
.
Resposta
d) é necessário e suficiente que dentre as
pessoas que conhecem o indivíduo, pelo menos
simpatizem com ele.