O que é uma integral indefinida? Como você a calcula? Que fórmulas gerais você conhece para calcular integrais indefinidas?

Passo 1

O enunciado pede que expliquemos o que é uma integral indefinida, como a calculamos na prática e quais são as fórmulas gerais mais usadas. Para isso, vamos recorrer ao conceito de antiderivada, às principais técnicas de integração e a um catálogo básico de integrais elementares.

Passo 2

A integral indefinida de uma função f em relação a x é o conjunto de todas as funções F tais que F'(x)=f(x). Escrevemos
\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C
onde C é a constante de integração, que representa o fato de que derivadas “perdem” constantes.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int f(x)\,\mathrm{d}x significa encontrar uma função F cuja derivada seja f. Em geral:
– Reconhecer padrões diretos (catalogar).
– Usar transformação de variável para simplificar o integrando.
– Decompor a função em parcelas mais simples (por frações parciais, por exemplo).
– Aplicar integração por partes quando o integrando é produto de funções.

Passo 4

Principais técnicas de cálculo:
  1. Substituição ( u-substituição): escolher u=g(x) de modo que g'(x)\,\mathrm{d}x apareça no integrando.
  2. Integração por partes:
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u.
  1. Frações parciais: decompor racional \frac{P(x)}{Q(x)} em somas de termos elementares.
  2. Substituições trigonométricas: para radicais do tipo \sqrt{a^2\pm x^2} ou expressões quadráticas.

Passo 5

Catálogo básico de fórmulas gerais (todas com “ +C” implícito):
\int x^n\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1
\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\bigl|x\bigr|
\int e^x\,\mathrm{d}x = e^x
\int a^x\,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a},\quad a>0,\;a\neq 1
\int \sin x\,\mathrm{d}x = -\cos x
\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x
\int \operatorname{sec}^2 x\,\mathrm{d}x = \tan x
\int \csc^2 x\,\mathrm{d}x = -\cot x
\int \operatorname{sec} x\tan x\,\mathrm{d}x = \operatorname{sec} x
\int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x = -\csc x
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsin x
\int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \arctan x

Resposta

A integral indefinida de f(x) é a família de antiderivadas \int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C. Para calculá-la, buscamos F tal que F'=f, usando padrões associados, substituições, integração por partes ou frações parciais. O catálogo de fórmulas elementares inclui regra do poder, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas, conforme listado acima.