(Mackenzie-16) Se f(\operatorname{sen} x)=\operatorname{sen} 3 x, para todo x \in I R e A(y), para y \in I R, é a matriz 3 \times 3,
A(y)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) & 1 \\\ f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) & y & f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) \\\ \frac{1}{2} & f\left(\cos \frac{\pi}{6}\right) & 1 \end{array}\right],
o valor de y que satisfaz a equação \operatorname{det}(\mathrm{A}(\mathrm{y}))=2 é
a) I
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

O enunciado dá a função f tal que
f(\sin x)=\sin 3x,\quad x\in\mathbb R
e a matriz
A(y)=\begin{pmatrix} 1 & f\bigl(\cos\frac{\pi}{6}\bigr) & 1\\\ f\bigl(\cos\frac{\pi}{6}\bigr) & y & f\bigl(\cos\frac{\pi}{6}\bigr)\\\ \frac12 & f\bigl(\cos\frac{\pi}{6}\bigr) & 1 \end{pmatrix}.
Queremos o valor de y tal que \det A(y)=2.

Passo 2

Calculamos f\bigl(\cos\frac{\pi}{6}\bigr). Note que
\cos\frac{\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{3},
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f\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr) =f\bigl(\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\sin\pi =0.

Passo 3

Substituindo na matriz, fica
A(y)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & y & 0\\\ \tfrac{1}{2} & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para calcular o determinante, expandimos pela segunda linha (que tem dois zeros):
\det A(y) = y\;\det\begin{pmatrix}1&1\\[3pt]\tfrac{1}{2}&1\end{pmatrix} = y\bigl(1\cdot1 - 1\cdot\tfrac{1}{2}\bigr) = y\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{y}{2}.]

Passo 4

Impondo \det A(y)=2, temos
\tfrac y2=2 \quad\Longrightarrow\quad y=4.

Resposta

4
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