(Mackenzie-99) Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular \mathrm{H}_{1}, obtém-se um hexágono regular \mathrm{H}_{2}. A razilo entre as áreas de \mathrm{H}_{1} \in \mathrm{H}_{2} é;
a) 3 / 2 \quad b) 5 / 4 \quad c) 4 / 3 \quad d) 2 \quad e) 6 / 5

Passo 1

O enunciado diz que temos um hexágono regular H_{1} de lado a. Unindo-se os pontos médios de seus lados, forma-se um novo hexágono regular H_{2}. Precisamos achar a razão
\frac{\text{área}(H_{1})}{\text{área}(H_{2})}.áá
O conteúdo aqui é semelhança de polígonos regulares e como a razão linear se traduz em razão de áreas.

Passo 2

Em qualquer polígono regular de n lados de comprimento a, o raio do círculo inscrito (apotema) é
r = a \,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
No caso n=6, tem-se
r_{1} = a \,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Os pontos médios dos lados de H_{1} estão todos a essa distância r_{1} do centro, logo H_{2} é um hexágono regular com raio circunscrito
R_{2} = r_{1} = a\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Em hexágono regular o lado coincide com o raio do circuncírculo, então o lado de H_{2} é
b = R_{2} = a\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a razão linear de semelhança é
\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Como a razão de áreas entre polígonos semelhantes é o quadrado da razão linear, vem
\frac{\text{área}(H_{2})}{\text{área}(H_{1})} = \Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2} = \frac{3}{4}.áá
Logo
\frac{\text{área}(H_{1})}{\text{área}(H_{2})} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}.áá

Resposta

c) \displaystyle \frac{4}{3}