(UF-RS) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num certo instante, para dois relógios, A e B, que só indicam horas e minutos. Naquele instante, A e B indicam, respectivamente, 11 h 51 min e 11 h 53 min . Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos:
“Nessas condições, a dedução lógica é que a defasagem entre A e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel.
“Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim.
“Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível concluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 segundos!”, afirma Antônio.
Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das afirmativas a seguir é verdadeira.
I. Só Manuel está certo.
II. Só Joaquim está certo.
III. Só Antônio está certo.
IV. Os três estão certos.
V. Os três estão errados.
VI. Não é possível decidir se algum nem qual dos três está certo.
Justifique sua escolha.

Passo 1

O enunciado dá dois relógios que só mostram horas e minutos: em um certo instante o relógio A marcava ,11:51 e o relógio B marcava ,11:53. Como não vemos os segundos, cada relógio pode estar em um instante real de segundos qualquer entre os minutos indicados. Queremos determinar o intervalo possível para a defasagem real entre B e A e, com isso, checar quem (Manuel, Joaquim ou Antônio) fez a dedução correta.

Passo 2

Denotemos por sA o número de segundos efetivos no relógio A e por sB o número de segundos no relógio B). Cada um deles varia no intervalo
0 <= sA <= 59, 0 <= sB <= 59
Assim o instante real marcado por A é
tA = 11!times!3600 + 51!times!60 + sA,
e o instante real marcado por B é
tB = 11!times!3600 + 53!times!60 + sB

Passo 3

A defasagem real De<a (em segundos) entre B e A é
De<a = tB - tA = l(11cdot3600 + 53cdot60 + sBr) -l(11cdot3600 + 51cdot60 + sAr) = 120 + (sB - sA)
Como -59 <= sB - sA <= +59, segue que
De<amin = 120 - 59 = 61, De<amax = 120 + 59 = 179,
ou seja De<ain[61,179] segundos.

Passo 4

Agora avaliamos cada afirmação:
– Manuel diz que a defasagem é exatamente 120 s. Isso só ocorre se sB = sA, mas pode não ocorrer. Logo Manuel está errado.
– Joaquim afirma que a defasagem é de, no máximo, 120 s. Falso, pois De<a pode chegar a 179 s.
– Antônio diz que a defasagem é de, pelo menos, 120 s. Também falso, pois De<a pode ser tão pequeno quanto 61 s.

Resposta

V. Os três estão errados.