Se n \in \mathbb{N}, define-se sucessor de n por n^{*}=n+1. Prove que ( m, n \in \mathbb{N} sempre):
n^{*}=m^{*} \Longrightarrow n=m.

Passo 1

O enunciado define o sucessor de n\in\mathbb{N} por
n^{*}=n+1
e pede para mostrar que o mapeamento n\mapsto n^{*} é injetivo, ou seja, que
n^{*}=m^{*}\Longrightarrow n=m.

Passo 2

Escrevendo a igualdade de sucessores em termos de soma, temos
n^{*}=m^{*}\quad\Longleftrightarrow\quad n+1=m+1.

Passo 3

Em \mathbb{N} vale a lei de cancelamento da adição:
\text{se }a+k=b+k\text{, então }a=b.ã
Aplicando com a=n, b=m e k=1, de n+1=m+1 segue imediatamente
n=m.

Resposta

n=m.