O mdc de dois números é 15. Na sua determinação pelo algoritmo de Euclides, encontramos os quocientes e 4. Quais são os números?
a) 540 e 180
b) 540 e 385
c) 720 e 195
d) 620 e 165
Passo 1
O enunciado diz que dois números positivos e têm e, ao aplicar o algoritmo de Euclides para calcular esse mdc, obtivemos os quocientes
Vamos usar a “volta” do algoritmo (back-substitution) para achar e .
Passo 2
Escrevemos as divisões sucessivas do algoritmo de Euclides com resto:
sabendo que r3 = gcd(a,b)=15.
Passo 3
Começando de baixo para cima, calculamos
r2 = q4cdot r3 = 4cdot15 = 60,
r1 = q3cdot r2 + r3 = 2cdot60 + 15 = 135
Passo 4
Agora encontramos b e a de volta na cadeia de divisões:
b = q2cdot r1 + r2 = 1cdot135 + 60 = 195,
a = q1cdot b + r1 = 3cdot195 + 135 = 720
Resposta
c) 720 e 195
Cálculo - João Barcelos Neto - Matemática para Físicos - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 6.3. Exercícios Propostos - Ex. 6.3.1