Mostrar que integral0^pi / 2 e^-x^2 sen x d x<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
I = integral0^pi/2 e^-x^2sin x,dx < 1
O conteúdo principal que vamos usar é uma desigualdade clássica para e o cálculo de uma integral imprópria elementar usando mudança de variável.

Passo 2

Para sin x <= x vale a desigualdade
e^-x^2sin x ;<=; e^-x^2,x
Logo, para todo I = integral0^pi/2 e^-x^2sin x,dx ;<; integral0^pi/2 x,e^-x^2,dx temos
Isto implica

Passo 3

Como integral0^pi/2 x,e^-x^2,dx ;<; integral0^infty x,e^-x^2,dx , podemos estender o limite superior da integral sem diminuir o valor:

Passo 4

Para calcular
integral0^infty x,e^-x^2,dx,
fazemos a mudança de variável integral0^infty x,e^-x^2,dx = integral0^infty e^-t,dt2 = 12 integral0^infty e^-t,dt = 12 l[-e^-tr]0^infty = 12 , de modo que ou . Os limites e dão

Passo 5

Juntando as desigualdades:
I < integral0^pi/2 x,e^-x^2,dx < integral0^infty x,e^-x^2,dx = tfrac12
Como I < 1 , concluímos que

Resposta

integral0^pi/2 e^-x^2sin x,dx < 1