Mostrar que integral0^pi / 2 e^-x^2 sen x d x<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
I = integral0^pi/2 e^-x^2sin x,dx < 1
O conteúdo principal que vamos usar é uma desigualdade clássica para sin x e o cálculo de uma integral imprópria elementar usando mudança de variável.

Passo 2

Para x>=0 vale a desigualdade
sin x <= x
Logo, para todo xin[0,pi/2] temos
e^-x^2sin x ;<=; e^-x^2,x
Isto implica
I = integral0^pi/2 e^-x^2sin x,dx ;<; integral0^pi/2 x,e^-x^2,dx

Passo 3

Como x,e^-x^2>=0, podemos estender o limite superior da integral sem diminuir o valor:
integral0^pi/2 x,e^-x^2,dx ;<; integral0^infty x,e^-x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^infty x,e^-x^2,dx,
fazemos a mudança de variável t = x^2, de modo que dt = 2x,dx ou x,dx = tfrac12,dt. Os limites x=0to t=0 e xtoinftyto ttoinfty dão
integral0^infty x,e^-x^2,dx = integral0^infty e^-t,dt2 = 12 integral0^infty e^-t,dt = 12 l[-e^-tr]0^infty = 12

Passo 5

Juntando as desigualdades:
I < integral0^pi/2 x,e^-x^2,dx < integral0^infty x,e^-x^2,dx = tfrac12
Como tfrac12<1, concluímos que
I < 1

Resposta

integral0^pi/2 e^-x^2sin x,dx < 1

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