Mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo principal que vamos usar é uma desigualdade clássica para
e o cálculo de uma integral imprópria elementar usando mudança de variável.
Passo 2
Para
vale a desigualdade
Logo, para todo
temos
Isto implica
Passo 3
Como
, podemos estender o limite superior da integral sem diminuir o valor:
Passo 4
Para calcular
fazemos a mudança de variável
, de modo que
ou
. Os limites
e
dão
Passo 5
Juntando as desigualdades:
Como
, concluímos que