Mostre que se a <= b e c <= d, então a+c <= b+d. Use esse fato para provar que |a+b| <=|a|+|b|. Sugestão: comece por notar que -|a| <= a <=|a| e-|b| <= b <=|b|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar primeiro que, para quaisquer reais a,b,c,d, se
a <= b e c <= d,
então
a + c <= b + d
Em seguida, usar esse fato para provar a desigualdade de triângulo
|a+b| <= |a| + |b|

Passo 2

Prova da soma de desigualdades. Suponha a <= b. Somando c a ambos os lados, obtemos
a + c <= b + c
Como também c <= d, se somarmos b a ambos os lados dessa segunda desigualdade, vem
b + c <= b + d
Pela transitividade de “ <=”, concluímos
a + c <= b + d

Passo 3

Agora note as desigualdades
-|a| <= a <= |a| e -|b| <= b <= |b|
Aplicando o resultado do Passo 2 às duas primeiras (isto é, somando -|a|<= a e -|b|<= b), obtemos
-,|a| + l(-,|b|r) <= a + b,
isto é,
-l(|a| + |b|r) <= a + b
Do mesmo modo, somando a <= |a| e b <= |b| vem
a + b <= |a| + |b|
Portanto
-,l(|a|+|b|r) <= a+b <= |a|+|b|

Passo 4

Por definição de valor absoluto, a dupla desigualdade
-,l(|a|+|b|r) <= a+b <= |a|+|b|
é equivalente a
|a+b| <= |a| + |b|

Resposta

|a+b| <= |a| + |b|