Mostre que se
e
, então
. Use esse fato para provar que
. Sugestão: comece por notar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar primeiro que, para quaisquer reais
, se
então
Em seguida, usar esse fato para provar a desigualdade de triângulo
Passo 2
Prova da soma de desigualdades. Suponha
. Somando
a ambos os lados, obtemos
Como também
, se somarmos
a ambos os lados dessa segunda desigualdade, vem
Pela transitividade de “
”, concluímos
Passo 3
Agora note as desigualdades
Aplicando o resultado do Passo 2 às duas primeiras (isto é, somando
e
), obtemos
isto é,
Do mesmo modo, somando
e
vem
Portanto
Passo 4
Por definição de valor absoluto, a dupla desigualdade
é equivalente a