Mostre que a função
satisfaz a equação de difusão
calculando as derivadas parciais e substituindo-as na equação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de difusão
Aqui temos uma PDE de difusão unidimensional com coeficiente
, que neste caso identificamos com
. Para verificar, vamos calcular
e
usando regra do produto e cadeia, e então comparar.
Passo 2
Escrevemos
Derivando
em relação a
dá
Derivando
com
dá
Pela regra do produto,
Como
e
, temos
Passo 3
Agora calculamos a derivada espacial. Primeiro
Derivando novamente em
(produt o de
por
) resulta
Passo 4
Multiplicando por
temos
Isso mostra exatamente que
ou seja, a função satisfaz a equação de difusão com
.
Resposta
A igualdade
é satisfeita, logo
é solução da equação de difusão com
.