Mostre que a função C(x, t)=\frac{M}{2 \sqrt{\pi D t}} e^{-\left(x^{{2}} / 4 D t\right)} satisfaz a equação de difusão
\frac{{\partial C}}{{\partial t}}=\alpha \frac{{\partial^{{2}} C}}{{\partial x^{{2}}}}
calculando as derivadas parciais e substituindo-as na equação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
C(x,t)=\frac{M}{2\sqrt{\pi D\,t}}\;e^{-\,\bigl(x^{2}/4Dt\bigr)}
satisfaz a equação de difusão
\frac{\partial C}{\partial t} \;=\;\alpha\,\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}.
Aqui temos uma PDE de difusão unidimensional com coeficiente \alpha, que neste caso identificamos com D. Para verificar, vamos calcular \partial C/\partial t e \partial^{2}C/\partial x^{2} usando regra do produto e cadeia, e então comparar.

Passo 2

Escrevemos
C(x,t)=A(t)\,B(x,t), \quad A(t)=\frac{M}{2\sqrt{\pi D\,t}}, \quad B(x,t)=e^{-\,x^{2}/(4D\,t)}.
Derivando A(t)=\bigl(M/(2\sqrt{\pi D})\bigr)\,t^{-1/2} em relação a t
A'(t)=-\frac{M}{4\sqrt{\pi D}}\;t^{-3/2}.
Derivando B(x,t)=e^{u(t)} com u(t)=-x^{2}/(4D\,t)
\frac{\partial B}{\partial t} = B(x,t)\,\frac{du}{dt} = B(x,t)\;\frac{x^{2}}{4D\,t^{2}}.
Pela regra do produto,
\frac{\partial C}{\partial t} = A'(t)\,B(x,t) \;+\; A(t)\,\frac{\partial B}{\partial t} = \frac{M}{2\sqrt{\pi D}}\,t^{-3/2}\,B(x,t) \Bigl(-\tfrac12 + \frac{x^{2}}{4D\,t}\Bigr).
Como C=A\,B e A\,B = C, temos
\frac{\partial C}{\partial t} = C\,\Bigl(-\frac{1}{2t} + \frac{x^{2}}{4D\,t^{2}}\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos a derivada espacial. Primeiro
\frac{\partial C}{\partial x} = A(t)\,\frac{\partial}{\partial x}e^{-x^{2}/(4D\,t)} = A(t)\,e^{-x^{2}/(4D\,t)}\;\bigl(-\tfrac{x}{2D\,t}\bigr) = -\frac{x}{2D\,t}\,C.
Derivando novamente em x (produt o de -x/(2Dt) por C) resulta
\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}} = -\frac{1}{2D\,t}\,C + \frac{x^{2}}{4D^{2}t^{2}}\,C = C\,\Bigl(-\frac{1}{2D\,t} + \frac{x^{2}}{4D^{2}t^{2}}\Bigr).

Passo 4

Multiplicando por \alpha=D temos
D\,\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}} = C\,\Bigl(-\frac{1}{2t} + \frac{x^{2}}{4D\,t^{2}}\Bigr) \;=\; \frac{\partial C}{\partial t}.
Isso mostra exatamente que
\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}},
ou seja, a função satisfaz a equação de difusão com \alpha=D.

Resposta

A igualdade
\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}
é satisfeita, logo C(x,t) é solução da equação de difusão com \alpha=D.