Mostre que 15 é um inverso de 7 módulo 26 .

Passo 1

Estamos em aritmética modular no anel \mathbb{Z}_{26}. Queremos mostrar que 15 é o inverso multiplicativo de 7 módulo 26, ou seja, que
7 \cdot 15 \equiv 1 \pmod{26}.

Passo 2

Primeiro, verificamos que \gcd(7,26)=1. Pelo Teorema de Bézout, isso garante que 7 é invertível em \mathbb{Z}_{26}.

Passo 3

Usamos o algoritmo de Euclides estendido para encontrar inteiros x,y tais que
7x + 26y = 1.
Aplicando as divisões sucessivas:
\begin{aligned} 26 &= 3\cdot7 + 5,\\\\ 7 &= 1\cdot5 + 2,\\\\ 5 &= 2\cdot2 + 1. \end{aligned}

Passo 4

Agora voltamos substituindo para expressar 1 em termos de 7 e 26:
1 = 5 - 2\cdot2 = 5 - 2\bigl(7 - 1\cdot5\bigr) = 3\cdot5 - 2\cdot7 = 3\bigl(26 - 3\cdot7\bigr) - 2\cdot7 = 3\cdot26 -11\cdot7.
Isso mostra que -11 é solução na congruência
7x \equiv 1 \pmod{26},
ou seja, x\equiv -11\pmod{26}.

Passo 5

Como -11 \equiv 15 \pmod{26}, concluímos que
7 \cdot 15 \equiv 1 \pmod{26}.

Resposta

15 é o inverso de 7 módulo 26.