O enunciado pede para mostrarmos que, quando dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança , a razão entre os perímetros desses triângulos também é . Para isso vamos usar a definição de triângulos semelhantes (proporção dos lados) e a definição de perímetro.
Passo 2
Denotemos por P = a + b + c, o perímetro do primeiro triângulo e por P' = a' + b' + c' o perímetro do segundo triângulo:
Passo 3
Como a razão de semelhança é a = k,a', b = k,b', c = k,c' , cada lado do primeiro triângulo é P = k,a' + k,b' + k,c' = k,(a' + b' + c') vezes o lado correspondente no segundo:
Substituindo essas expressões em temos
Passo 4
Agora basta dividir PP' = k,(a' + b' + c')a' + b' + c' = k por :
Isso mostra que a razão entre os perímetros é exatamente .
Resposta
A razão entre os perímetros dos triângulos é .
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 451