O enunciado pede para mostrarmos que, quando dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre os perímetros desses triângulos também é k. Para isso vamos usar a definição de triângulos semelhantes (proporção dos lados) e a definição de perímetro.
Passo 2
Denotemos por P o perímetro do primeiro triângulo e por P' o perímetro do segundo triângulo:
P = a + b + c,
P' = a' + b' + c'
Passo 3
Como a razão de semelhança é k, cada lado do primeiro triângulo é k vezes o lado correspondente no segundo:
a = k,a', b = k,b', c = k,c'
Substituindo essas expressões em P temos
P = k,a' + k,b' + k,c' = k,(a' + b' + c')
Passo 4
Agora basta dividir P por P':
PP' = k,(a' + b' + c')a' + b' + c' = k
Isso mostra que a razão entre os perímetros é exatamente k.
Resposta
A razão entre os perímetros dos triângulos é k.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 451