Mostre que, se a razão de semelhança entre dois triângulos é k, então a razão entre seus perímetros é também k.

Solução

Dados os triângulos semelhantes AB C e A^prime B^prime C^prime e sendo k a razão de semelhança, temos:
2 p=a+b+c
aa^prime=bb^prime=cc^prime=k Rightarrowla=k a^prime b=k b^prime c=k c^prime
2 p2 p^prime=a+b+ca^prime+b^prime+c^prime=k a^prime+k b^prime+k c^primea^prime+b^prime+c^prime=k(a^prime+b^prime+c^prime)a^prime+b^prime+c^prime=k
2 p^prime=a^prime+b^prime+c^prime
=k(a^prime+b^prime+c^prime)a^prime+b^prime+c^prime=k

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, quando dois triângulos são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre os perímetros desses triângulos também é k. Para isso vamos usar a definição de triângulos semelhantes (proporção dos lados) e a definição de perímetro.

Passo 2

Denotemos por P o perímetro do primeiro triângulo e por P' o perímetro do segundo triângulo:
P = a + b + c,
P' = a' + b' + c'

Passo 3

Como a razão de semelhança é k, cada lado do primeiro triângulo é k vezes o lado correspondente no segundo:
a = k,a', b = k,b', c = k,c'
Substituindo essas expressões em P temos
P = k,a' + k,b' + k,c' = k,(a' + b' + c')

Passo 4

Agora basta dividir P por P':
PP' = k,(a' + b' + c')a' + b' + c' = k
Isso mostra que a razão entre os perímetros é exatamente k.

Resposta

A razão entre os perímetros dos triângulos é k.

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