1. Mostre que a série \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!e^{n}} é divergente.

Passo 1

No enunciado temos a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k^k}{k!\,e^k}.
O conteúdo é testes de convergência de séries e vamos precisar da fórmula de Stirling para avaliar o termo geral.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Stirling, que diz que
k! \sim \sqrt{2\pi k}\,\Bigl(\frac{k}{e}\Bigr)^k.
Substituindo em \frac{k^k}{k!\,e^k} teremos o comportamento assintótico do termo.

Passo 3

Substituindo,
\frac{k^k}{k!\,e^k} \sim \frac{k^k}{\sqrt{2\pi k}\,(k/e)^k\,e^k} = \frac{1}{\sqrt{2\pi k}}.
Logo o termo geral a_k se comporta como 1/\sqrt{2\pi k}.

Passo 4

Como a série
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi k}}
é equivalente a uma p-série com p=\tfrac12\le1, ela diverge. Pelo teste de comparação assintótica, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.