3.3.14 Mostre que a soma dos quadrados dos elementos de uma matriz permanece invariante sob transformações de similaridade ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz sumi,jAi,j^2 e uma matriz ortogonal B = Q^T A,Q (isto é, ), a soma dos quadrados dos elementos de
é igual à soma dos quadrados dos elementos de
O conteúdo que vamos usar é a relação entre a norma de Frobenius e o traço de uma matriz, além da propriedade cíclica do traço e da definição de matriz ortogonal.

Passo 2

Definimos a norma de Frobenius ao quadrado de |A|F^2 = sumi,jAi,j^2 como
|A|F^2 = Tr(A^T A),
Uma propriedade padrão é
Tr(XY)=Tr(YX)
onde denota o traço. Também lembramos que, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, vale a propriedade cíclica

Passo 3

Como B = Q^T A,Q é ortogonal, temos B^T = (Q^T A,Q)^T = Q^T A^T Q e |B|F^2 = Tr(B^T B) = Trl((Q^T A^T Q)(Q^T A Q)r) . Definimos
Então
Logo,

Passo 4

Dentro do traço usamos |B|F^2 = Trl(Q^T A^T,(Q Q^T),A Qr) = Trl(Q^T A^T A Qr) = Trl(A^T A,Q Q^Tr) = Tr(A^T A) = |A|F^2 e a cíclica:
Isso mostra que a soma dos quadrados dos elementos de coincide com a de .

Resposta

Portanto, sob qualquer transformação de similaridade ortogonal sumi,jBi,j^2 ;=;sumi,jAi,j^2, , vale
isto é, a soma dos quadrados dos elementos permanece invariante.