3.3.14 Mostre que a soma dos quadrados dos elementos de uma matriz permanece invariante sob transformações de similaridade ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz
e uma matriz ortogonal
(isto é,
), a soma dos quadrados dos elementos de
é igual à soma dos quadrados dos elementos de
O conteúdo que vamos usar é a relação entre a norma de Frobenius e o traço de uma matriz, além da propriedade cíclica do traço e da definição de matriz ortogonal.
Passo 2
Definimos a norma de Frobenius ao quadrado de
como
Uma propriedade padrão é
onde
denota o traço. Também lembramos que, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, vale a propriedade cíclica
Passo 3
Como
é ortogonal, temos
e
. Definimos
Então
Logo,
Passo 4
Dentro do traço usamos
e a cíclica:
Isso mostra que a soma dos quadrados dos elementos de
coincide com a de
.
Resposta
Portanto, sob qualquer transformação de similaridade ortogonal
, vale
isto é, a soma dos quadrados dos elementos permanece invariante.