3.3.14 Mostre que a soma dos quadrados dos elementos de uma matriz permanece invariante sob transformações de similaridade ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} e uma matriz ortogonal Q (isto é, Q^TQ=QQ^T=I), a soma dos quadrados dos elementos de A
\sum_{i,j}A_{i,j}^2
é igual à soma dos quadrados dos elementos de
B = Q^T A\,Q.
O conteúdo que vamos usar é a relação entre a norma de Frobenius e o traço de uma matriz, além da propriedade cíclica do traço e da definição de matriz ortogonal.

Passo 2

Definimos a norma de Frobenius ao quadrado de A como
\|A\|_F^2 = \sum_{i,j}A_{i,j}^2.
Uma propriedade padrão é
\|A\|_F^2 = \operatorname{Tr}(A^T A),
onde \operatorname{Tr} denota o traço. Também lembramos que, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, vale a propriedade cíclica
\operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX).

Passo 3

Como Q é ortogonal, temos Q^{-1}=Q^T e Q^TQ=I. Definimos
B = Q^T A\,Q.
Então
B^T = (Q^T A\,Q)^T = Q^T A^T Q.
Logo,
\|B\|_F^2 = \operatorname{Tr}(B^T B) = \operatorname{Tr}\bigl((Q^T A^T Q)(Q^T A Q)\bigr).

Passo 4

Dentro do traço usamos QQ^T=I e a cíclica:
\|B\|_F^2 = \operatorname{Tr}\bigl(Q^T A^T\,(Q Q^T)\,A Q\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(Q^T A^T A Q\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A^T A\,Q Q^T\bigr) = \operatorname{Tr}(A^T A) = \|A\|_F^2.
Isso mostra que a soma dos quadrados dos elementos de B coincide com a de A.

Resposta

Portanto, sob qualquer transformação de similaridade ortogonal B=Q^T A Q, vale
\sum_{i,j}B_{i,j}^2 \;=\;\sum_{i,j}A_{i,j}^2,
isto é, a soma dos quadrados dos elementos permanece invariante.

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