4.6.1 (a) Mostre que todo quadrivetor no espaço de Minkowski pode ser decomposto em um vetor ordinário no espaço tridimensional e um escalar ordinário no espaço tridimensional. Exemplos:
Sugestão: Considere uma rotação das coordenadas do espaço tridimensional com tempo fixo.
(b) Mostre que o inverso de (a) não é verdadeiro - todo trivetor mais um escalar não formam um quadrivetor de Minkowski.

Passo 1

O enunciado pede para entender a relação entre o grupo de Lorentz em quatro dimensões e o seu subgrupo de rotações espaciais em três dimensões. Em (a) queremos ver que qualquer quadrivetor de Minkowski
V^\mu\;(\mu=0,1,2,3)
pode sempre ser escrito como um “escalar” V^0 mais um vetor 3-dimensional V^i\;(i=1,2,3). Em (b) precisamos mostrar que nem todo par (\text{esc},\;\vec v) se comporta como um quadrivetor sob boosts — ou seja, a recíproca não vale.

Passo 2

Definimos a decomposição natural de um quadrivetor
V^\mu=(V^0,V^1,V^2,V^3)\equiv\bigl(V^0,\;\vec V\bigr)
com V^0 componente temporal e \vec V=(V^1,V^2,V^3) componente espacial. Isso é sempre possível porque estamos só reagrupando índices.

Passo 3

Sob uma rotação espacial em \mathbb R^3 (mantenho x^0 fixo), o tempo V^0 fica invariante (escalares sob rotações) e \vec V gira como vetor usual de \mathbb R^3. Logo, qualquer quadrivetor se decompõe em escalar V^0 mais vetor \vec V que se comportam corretamente sob o subgrupo SO(3).

Passo 4

Para ver que a recíproca falha, note que sob um boost ao longo do eixo x de velocidade v (com \beta=v/c e \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}), um verdadeiro quadrivetor satisfaz
V'^{0}=\gamma\bigl(V^{0}-\beta V^{1}\bigr), \quad V'^{1}=\gamma\bigl(V^{1}-\beta V^{0}\bigr), \quad V'^{2}=V^{2},\; V'^{3}=V^{3}.
Se alguém lhe der arbitrariamente um escalar s e um vetor \vec v que, por hipótese, sob boost não mudam s'=s e \vec v' só gira ou se mantém igual, não há como recuperar a mistura mista \gamma(V^0-\beta V^1). Portanto (s,\vec v) em geral não satisfaz essa lei de transformação e não é um quadrivetor.

Resposta

(a) Verdadeiro: qualquer quadrivetor V^\mu se escreve sempre como \bigl(V^0,\vec V\bigr), com V^0 escalar sob rotações e \vec V vetor em \mathbb R^3.
(b) Falso: um par genérico (s,\vec v) não sofre o “mixing” de componentes exigido pelos boosts e, portanto, não se comporta como quadrivetor de Minkowski.

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