4.6.1 (a) Mostre que todo quadrivetor no espaço de Minkowski pode ser decomposto em um vetor ordinário no espaço tridimensional e um escalar ordinário no espaço tridimensional. Exemplos:
Sugestão: Considere uma rotação das coordenadas do espaço tridimensional com tempo fixo.
(b) Mostre que o inverso de (a) não é verdadeiro - todo trivetor mais um escalar não formam um quadrivetor de Minkowski.

Passo 1

O enunciado pede para entender a relação entre o grupo de Lorentz em quatro dimensões e o seu subgrupo de rotações espaciais em três dimensões. Em (a) queremos ver que qualquer quadrivetor de Minkowski
V^mu;(mu=0,1,2,3)
pode sempre ser escrito como um “escalar” mais um vetor 3-dimensional . Em (b) precisamos mostrar que nem todo par se comporta como um quadrivetor sob boosts — ou seja, a recíproca não vale.

Passo 2

Definimos a decomposição natural de um quadrivetor
V^mu=(V^0,V^1,V^2,V^3)equivl(V^0,;vec Vr)
com componente temporal e componente espacial. Isso é sempre possível porque estamos só reagrupando índices.

Passo 3

Sob uma rotação espacial em (mantenho fixo), o tempo fica invariante (escalares sob rotações) e gira como vetor usual de . Logo, qualquer quadrivetor se decompõe em escalar mais vetor que se comportam corretamente sob o subgrupo .

Passo 4

Para ver que a recíproca falha, note que sob um boost ao longo do eixo V'^0=gammal(V^0-beta V^1r), V'^1=gammal(V^1-beta V^0r), V'^2=V^2,; V'^3=V^3 de velocidade (com e ), um verdadeiro quadrivetor satisfaz
Se alguém lhe der arbitrariamente um escalar e um vetor que, por hipótese, sob boost não mudam e só gira ou se mantém igual, não há como recuperar a mistura mista . Portanto em geral não satisfaz essa lei de transformação e não é um quadrivetor.

Resposta

(a) Verdadeiro: qualquer quadrivetor se escreve sempre como , com escalar sob rotações e vetor em .
(b) Falso: um par genérico não sofre o “mixing” de componentes exigido pelos boosts e, portanto, não se comporta como quadrivetor de Minkowski.