4.6.1 (a) Mostre que todo quadrivetor no espaço de Minkowski pode ser decomposto em um vetor ordinário no espaço tridimensional e um escalar ordinário no espaço tridimensional. Exemplos:
Sugestão: Considere uma rotação das coordenadas do espaço tridimensional com tempo fixo.
(b) Mostre que o inverso de (a) não é verdadeiro - todo trivetor mais um escalar não formam um quadrivetor de Minkowski.
(b) Mostre que o inverso de (a) não é verdadeiro - todo trivetor mais um escalar não formam um quadrivetor de Minkowski.
Passo 1
O enunciado pede para entender a relação entre o grupo de Lorentz em quatro dimensões e o seu subgrupo de rotações espaciais em três dimensões. Em (a) queremos ver que qualquer quadrivetor de Minkowski
pode sempre ser escrito como um “escalar”
mais um vetor 3-dimensional
. Em (b) precisamos mostrar que nem todo par
se comporta como um quadrivetor sob boosts — ou seja, a recíproca não vale.
Passo 2
Definimos a decomposição natural de um quadrivetor
com
componente temporal e
componente espacial. Isso é sempre possível porque estamos só reagrupando índices.
Passo 3
Sob uma rotação espacial em
(mantenho
fixo), o tempo
fica invariante (escalares sob rotações) e
gira como vetor usual de
. Logo, qualquer quadrivetor se decompõe em escalar
mais vetor
que se comportam corretamente sob o subgrupo
.
Passo 4
Para ver que a recíproca falha, note que sob um boost ao longo do eixo
de velocidade
(com
e
), um verdadeiro quadrivetor satisfaz
Se alguém lhe der arbitrariamente um escalar
e um vetor
que, por hipótese, sob boost não mudam
e
só gira ou se mantém igual, não há como recuperar a mistura mista
. Portanto
em geral não satisfaz essa lei de transformação e não é um quadrivetor.
Resposta
(a) Verdadeiro: qualquer quadrivetor
se escreve sempre como
, com
escalar sob rotações e
vetor em
.
(b) Falso: um par genérico não sofre o “mixing” de componentes exigido pelos boosts e, portanto, não se comporta como quadrivetor de Minkowski.
(b) Falso: um par genérico