a) Para quais números inteiros positivos n é 11 n+17 \leq 2^{n} ?
b) Demonstre a conjectura que você formulou no item (a) usando a indução matemática.

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais inteiros positivos n vale a desigualdade
11n + 17 \;\le\; 2^n
e, em seguida, provar essa afirmação por indução matemática.

Passo 2

Vamos testar valores pequenos de n:
\begin{aligned} n=1:&\quad 11\cdot1+17=28>2^1=2,\\\ n=2:&\quad 11\cdot2+17=39>2^2=4,\\\ n=3:&\quad 11\cdot3+17=50>2^3=8,\\\ n=4:&\quad 11\cdot4+17=61>2^4=16,\\\ n=5:&\quad 11\cdot5+17=72>2^5=32,\\\ n=6:&\quad 11\cdot6+17=83>2^6=64,\\\ n=7:&\quad 11\cdot7+17=94\le2^7=128. \end{aligned}
Logo, a partir de n=7 a desigualdade passa a ser verdadeira.

Passo 3

Conjecturamos que para todo inteiro positivo n\ge7 vale
11n + 17 \;\le\; 2^n.

Passo 4

Para provar essa conjectura, usemos indução em n a partir de n=7.

Passo 5

Base da indução: para n=7 já vimos que
11\cdot7 + 17 = 94 \le 128 = 2^7.

Passo 6

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge7 tenhamos
11k + 17 \;\le\; 2^k.
Queremos mostrar que isso implica
11(k+1) + 17 \;\le\; 2^{k+1}.

Passo 7

Observe que
11(k+1) + 17 = (11k + 17) + 11.
Pela hipótese de indução, (11k+17)\le2^k, então
11(k+1) + 17 \le 2^k + 11.

Passo 8

Para concluir, basta ver que para k\ge7 temos
2^k \ge 2^7 = 128 > 11,
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2^k + 11 \le 2^k + 2^k = 2^{k+1}.
Desse modo,
11(k+1) + 17 \le 2^{k+1},
e a indução está completa.

Resposta

A desigualdade 11n + 17 \le 2^n é verdadeira exatamente para todos os inteiros positivos n\ge7.