a) Para quais números inteiros positivos
é
?
b) Demonstre a conjectura que você formulou no item (a) usando a indução matemática.
b) Demonstre a conjectura que você formulou no item (a) usando a indução matemática.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais inteiros positivos
vale a desigualdade
e, em seguida, provar essa afirmação por indução matemática.
Passo 2
Vamos testar valores pequenos de
:
Logo, a partir de
a desigualdade passa a ser verdadeira.
Passo 3
Conjecturamos que para todo inteiro positivo
vale
Passo 4
Para provar essa conjectura, usemos indução em
a partir de
.
Passo 5
Base da indução: para
já vimos que
Passo 6
Passo indutivo: suponha que para algum
tenhamos
Queremos mostrar que isso implica
Passo 7
Observe que
Pela hipótese de indução,
, então
Passo 8
Para concluir, basta ver que para
temos
logo
Desse modo,
e a indução está completa.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira exatamente para todos os inteiros positivos
.