Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=(1+3 i) t(1 \leqq t \leqq 4)

Passo 1

O enunciado define o caminho complexo
z(t) = (1+3i)\,t,\quad 1 \le t \le 4
e pede para obter sua forma em coordenadas reais, determinar como ele se desenha no plano e indicar sua orientação. Vamos separar as partes real e imaginária e depois identificar a trajetória geométrica.

Passo 2

Escrevendo
z(t)=x(t)+i\,y(t)
vemos que
x(t)=t, \quad y(t)=3t.
Portanto, na interpretação em \mathbb{R}^2 o caminho é o conjunto de pontos
\{(t,3t)\mid 1\le t\le 4\},
que é um segmento da reta de equação y=3x. Os pontos inicial e final são
z(1)=1+3i\quad\text{e}\quad z(4)=4+12i.

Passo 3

Para ver a orientação, note que
z'(t)=1+3i
é um vetor constante na direção (1,3). Como t cresce de 1 a 4, o ponto desliza uniformemente ao longo dessa reta, partindo de z(1) e chegando em z(4). No esboço basta desenhar os eixos, traçar a reta y=3x, marcar os pontos (1,3),(2,6),(3,9),(4,12), ligar com um segmento de reta e colocar uma seta apontando de (1,3) para (4,12).

Resposta

O caminho é o segmento de reta em \mathbb{C} descrito por
\{\,z(t)=(1+3i)\,t\mid 1\le t\le4\},
equivalente em \mathbb{R}^2 a
\{(x,y)=(t,3t)\mid1\le t\le4\},
com orientação de z(1)=1+3i para z(4)=4+12i. No esboço, desenhe a reta y=3x, marque os pontos (1,3),(2,6),(3,9),(4,12) e indique a seta no sentido crescente de t.