Obtenha a função inversa das seguintes funções:
f: R- B, em que B=y in R mid y >= 1
f(x)=x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de fcolon R-to B, definida por
f(x)=x^2+1,
onde R-=xinRmid x<= 0 e B=yinRmid y>=1. Vamos usar o conceito de função invertível via monotonicidade e resolver a equação y=x^2+1.

Passo 2

Verificamos que f é estritamente decrescente em R-, pois
f'(x)=2x<0para x<0,
e em x=0 o valor continua a imagem. Assim f é injetora e sua imagem é exatamente B, já que x^2+1>=1 para todo x.

Passo 3

Para obter a inversa, escrevemos
y = x^2 + 1
e isolamos x. Obtemos
x^2 = y - 1
Como x<=0 no domínio original, tomamos a raiz negativa:
x = -raizy - 1

Passo 4

Concluímos que a inversa
f^-1colon BtoR-
é dada por
f^-1(y) = -raizy-1,
com domínio y>=1 e imagem em x<=0.

Resposta

f^-1(y) = -raizy-1, y>=1